python解线性方程组

import numpy as np
A=np.array([[1,1],
            [2,4]])  # 将系数所有向量拼在一起
b=np.array([10,
            28])  #常数向量
x=np.linalg.solve(A,b)  #解线性方程组
print("线性方程组的解为：\n",x)

求解多元方程组

import numpy as np
A=np.array([[1,1,1],
            [2,4,2],
            [2,2,2]])  # 将系数所有向量拼在一起
b=np.array([14,
            40,
            28])  #常数向量
x=np.linalg.solve(A,b)  #解线性方程组
print("线性方程组的解为：\n",x)
#使用这个代码依然会报错，LinAlgError: Singular matrix
#说明系数矩阵是奇异的，也就是说有一个式子的信息对解方程起不到任何作用，它的信息已经囊括在第一个式子中

判断一个方程组有唯一解：

• n个未知数要有n个方程
• 可以使用线性无关去判断是否为有效的方程

#计算系数矩阵A的行列式
A=np.array([[1,1,1],
            [2,4,2],
            [2,2,2]])
np.linalg.det(A)  #计算方阵A的行列式
print("A的行列式的值为：",np.linalg.det(A))
B=np.array([[1,1,1,1],
            [1,2,0,0],
            [1,0,3,0],
            [1,0,0,4]])
B_det=np.linalg.det(B)
print("B的行列式的值为：",B_det)
#若系数行列式不等于0，且未知数个数等于方程的个数，则说明这个方程组是有唯一解的

克莱默法则

#使用python实现克拉默法则
D=np.array([[2,1,-5,1],[1,-3,0,-6],[0,2,-1,2],[1,4,-7,6]])
D_det = np.linalg.det(D)
D1=np.array([[8,1,-5,1],[9,-3,0,-6],[-5,2,-1,2],[0,4,-7,6]])
D1_det = np.linalg.det(D1)
D2=np.array([[2,8,-5,1],[1,9,0,-6],[0,-5,-1,2],[1,0,-7,6]])
D2_det = np.linalg.det(D2)
D3=np.array([[2,1,8,1],[1,-3,9,-6],[0,2,-5,2],[1,4,0,6]])
D3_det = np.linalg.det(D3)
D4=np.array([[2,1,-5,8],[1,-3,0,9],[0,2,-1,-5],[1,4,-7,0]])
D4_det = np.linalg.det(D4)
x1=D1_det/D_det
x2=D2_det/D_det
x3=D3_det/D_det
x4=D4_det/D_det
print("克拉默法则解线性方程组的解为：\n x1={:.2f},\n x2={:.2f},\n x3={:.2f},\n x4={:.2f}".format(x1,x2,x3,x4))

矩阵运算

（1）矩阵乘法

#矩阵的乘法
A = np.array([[1, 2],
              [1, -1]])
B = np.array([[1, 2, -3],
              [-1, 1, 2]])
print("A的规模{}".format(A.shape))
print("B的规模{}".format(B.shape))
# 计算AB
print("AB=\n{}".format(np.matmul(A, B)))

（2）矩阵加法

#矩阵的加法
A = np.array([[1, 2],
              [1, -1]])
C = np.array([[1, 2],
                [3, 4]])
print("A+C = \n", A + C) # A+C 
print("3*A = \n", 3 * A) # 3*A

（3）单位矩阵

#单位矩阵
print("B =\n", B,"\n", "E = \n", np.eye(3)) # 3阶单位阵
np.matmul(B, np.eye(3))
（4）初等矩阵及其变换
#初等矩阵
A = np.array([[1, 1, 1],
              [2, 4, 2]])
print("A = \n", A)

#初等变换 左乘P
P = np.array([[0, 1],
              [1, 0]])
np.matmul(P, A) # 交换了矩阵的两行

#第一行乘2
P = np.array([[2, 0],
              [0, 1]])
np.matmul(P, A) 

#把第一行加到第二行
P = np.array([[1, 0],
              [1, 1]])
np.matmul(P, A) 

#左乘与右乘的对比
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
P = np.array([[0, 1],
              [1, 0]])
print("交换两行：\n", np.matmul(P, A))
print("交换两列：\n", np.matmul(A, P))

（5）矩阵的逆

#求矩阵的逆
import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(np.linalg.det(A),"行列式不为0，非奇异阵") # 检验是否奇异
print("A的逆矩阵：\n", np.linalg.inv(A)) # 矩阵求逆
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("验证AA_inv = E \n", np.matmul(A, A_inv))
####################################################
B = np.array([[0, 1],
              [0, -1]])
print(np.linalg.det(B),"行列式为0，奇异阵") # 检验是否奇异
# print("B的逆矩阵：\n", np.linalg.inv(B)) # 直接求逆会报错
print(np.linalg.pinv(B))  #广义的逆
print(np.matmul(np.matmul(B, np.linalg.pinv(B)),B)) # 验证广义逆的定义

求解特征值和特征向量

#使用python求解矩阵的特征值和特征向量
A=np.array([[-2,1,1],
            [0,2,0],
            [-4,1,3]])
lamb,p=np.linalg.eig(A)
print("矩阵A的特征值为：",lamb)
print("矩阵A的特征向量为：\n",p)
print("矩阵A对角化为：\n",np.matmul(np.linalg.inv(p),np.matmul(A,p)))   #P逆AP
#小的数值可以直接看作0
# 数值过滤
res = np.matmul(np.linalg.inv(p),np.matmul(A,p))
res[np.abs(res) <1e-6] = 0 # 将绝对值小于10的-6次方的值设为0
print(res)

A=np.array([[-1,1,0],
            [-4,3,0],
            [1,0,2]])
lamb,p=np.linalg.eig(A)
print("矩阵A的特征值为：",lamb)
print("矩阵A的特征向量为：\n",p)
print("矩阵A对角化为：\n",np.matmul(np.linalg.inv(p),np.matmul(A,p)))   #P逆AP
#小的数值可以直接看作0
# 数值过滤
res = np.matmul(np.linalg.inv(p),np.matmul(A,p))
res[np.abs(res) <1e-6] = 0 # 将绝对值小于10的-6次方的值设为0
print(res)

斯密特正交化

#斯密特正交化将一组基变成标准正交基
from scipy.linalg import *
A=np.array([[1,2,3],[2,1,3],[3,2,1]])
B=orth(A)   #正交化，奇异值分解不是施密特正交化
print(np.matmul(B,np.transpose(B)))   #输出单位矩阵
#数值过滤
res=np.matmul(B,np.transpose(B))
res[np.abs(res)<1e-6]=0
print(res)

实战——基于矩阵变换的图像变换

# 在------------位置补全代码
import numpy as np
from math import cos, sin, pi

def vec_2d(x0, y0, alpha):
    """
    旋转2维向量.
    x0: 横坐标.
    y0: 纵坐标.
    alpha: 旋转角度，弧度制.
    return:(x,y) 旋转后的坐标.
    """
    origin = np.array([[x0, y0, 1]])
    Trans = np.array([[cos(alpha), -sin(alpha), 0],
                      [sin(alpha), cos(alpha), 0],
                      [0, 0, 1]])
    res =origin.dot(Trans)
    x=res[0,:2][0]
    y=res[0,:2][1]
    return (x, y)

vec_2d(3, 2, pi/2)

# 图像旋转的矩阵
def Trans(x0, y0, W, H, alpha):
    origin = np.array([[x0, y0, 1]])
    res = origin.dot(np.array([[cos(alpha), sin(alpha), 0],
                     [-sin(alpha), cos(alpha), 0],
                     [-0.5*W*cos(alpha) + 0.5*H*sin(alpha) + 0.5*W, -0.5*W*sin(alpha) - 0.5*H*cos(alpha) + 0.5*H, 1]]))
    return (int(res[0,:2][0]),int(res[0,:2][1]))

from skimage import io, data
img3 = data.horse()
io.imshow(img3)
img3.shape

img4 = np.zeros((400, 400))

for x in range(img3.shape[0]):
    for y in range(img3.shape[1]):
        x1, y1 = Trans(x, y, 328, 400, pi/2)
        img4[x1-355, y1] = img3[x, y] # 335是做了一步平移居中，保证画面完整性
io.imshow(img4)

使用skimage库中内置函数transform.rotate对图像进行旋转

from skimage import io, transform
import matplotlib.pyplot as plt

dirpath = "E:/learning group/datawhale/__init_Modeling__-main/线性代数/figures/2-6.jpg"
img = io.imread(dirpath) #读取数据
plt.imshow(img) 
img.shape

# 旋转图像
#img2 = transform.rotate(img,90,resize=False)  #旋转90度,不改变图像大小
img2 = transform.rotate(img,90,resize=True)   #旋转90度，跟着改变图像大小
plt.imshow(img2)