左右手坐标系下三维位姿（旋转、平移）的转换

太长不看

假设右（或左）手坐标系下的旋转矩阵和平移向量分别为R和T，左（或右）手坐标系下分别为R^{’}和T^{’}，假设S = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}，则有
R = S \cdot R^{’} \cdot S \\ T = S \cdot T^{’}

推导

右手食指为Y轴正方向，中指为Z轴正方向，大拇指为X轴正方向，这样的坐标系为右手坐标系。右手换成左手则为左手坐标系。将一个坐标系的一个轴取反向，则改变了手性；两个轴取反向，则等价于绕第三轴旋转180度；将三个轴都取反向，则是前面两者的叠加，改变手性+旋转。

左右手坐标系的转换在图形学开发中经常出现，例如OpenGL使用右手坐标系，Unity使用左手坐标系。下文所述右手坐标系即是OpenGL坐标系，左手坐标系即是Unity坐标系。

左右手坐标系示意图

左手坐标系下有一个点P_l=(x,y,z)^T，则在右手坐标系下，该点应该表示为P_r=(-x,y,z)^T。

假设空间中有变换矩阵
S=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}=S^{-1}

则左右手坐标系下点的变换即可用S来表示，即
P_l = S \cdot P_r \\\\ P_r = S \cdot P_l

假设空间中有旋转矩阵R和平移向量T，世界坐标系下有点P_w，对应相机坐标系下有点P_c，则有
P_c = R \cdot P_w + T

假设P_c、P_w、R、T均定义在右手坐标系下，{P_c}^{’}、{P_w}^{’}、{R}^{’}、{T}^{’}分别为上述变量在左手坐标系下的定义，即
P_c = R \cdot P_w + T \\\\ {P_c}^{’} = {R}^{’} \cdot {P_w}^{’} + {T}^{’}

左右手坐标系下位置的变换我们已经知道，即{P}^{’}=S \cdot P，则有
{P_c}^{’} = {R}^{’} \cdot {P_w}^{’} + {T}^{’} \rightarrow \\\\ S \cdot {P_c} = {R}^{’} \cdot S \cdot {P_w} + {T}^{’} \rightarrow \\\\ {P_c} = {S}^{-1} \cdot {R}^{’} \cdot S \cdot {P_w} + {S}^{-1} \cdot {T}^{’}

已知右手坐标系下P_c = R \cdot P_w + T，故有左右手坐标系下旋转矩阵和平移向量的的转换
R = S^{-1} \cdot R^{’} \cdot S = S \cdot R^{’} \cdot S \\\\ T = S^{-1} \cdot {T}^{’} = S \cdot {T}^{’}

以上

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