在非线性MIMO中想用凸优化、最优化等算法就要找到目标函数，优化条件等等，我先从最简单的Y=HX+N的模型入手，看看LS,MMSE等算法的用法，再拓展至非线性模型中。
通常无线信道估计分成两大类：无线信道状态参数的估计、信道时域/频域响应的估计。因为对信道中状态参数、时/频域响应的估计，有助于恢复出接收到的数据，从而大大提高接收信号的质量。在无线系统中，一般会采用相干检测，为了实现相干检测，要对信道进行估计，接收端在已知 CSI 的条件下对信号进行检测。
传统的信道估计方法
（1）导频辅助信道估计：在发送数据中插入一些已知的数据(可以为导频)进行信道估计，导频辅助估计可被分为基于导频和基于训练序列两种信道估计。前者常用在连续传输数据的系统，在传输用户数据中插入已知的导频符号，可以得出相对应导频位置的信道估计结果，继而得到用户数据位置处的信道估计，从而完成导频信道估计。导频辅助信道估计优点是即使在低复杂度时仍可以获得很好的信道误差性能。
（2）盲信道估计：通常用相应的数据处理技术来估计信道，或是采用判决反馈的方法来进行信道估计的方法。其突出缺点是运算时间长，收敛速度较慢，因此阻碍了它在实际中的应用。
（3）半盲信道估计：该估计弥补了（2）中估计方法存在的不足，它采用较少训练序列来获取信道信息。因此，对信道进行估计可以通过设计训练序列，此外还可以采取在数据中按照周期地插入导频符号的方法。
对三者稍作比较可知，（2）（3）中盲和半盲信道估计算法无需训练序列或者说其需要较短的训练序列就能提高频谱效率，因此在信道估计中获得了广泛的研究与应用。但是一般盲和半盲估计方法的复杂度高，因此计算成本也随之较高，这在某些程度上使它们的应用受到了限制。
基于导频的信道估计包括三种方法，如最小二乘法(Least Squares, LS)、最大似然（Maximum Likelihood，ML)和最小均方误差法(Minimum Mean Square Error, MMSE)。以经典的 MIMO 信道为例，为发送端的导频符号矩阵，
为接收端的加性高斯白噪声，该噪声中元素是均值为0、方差为
的随机变量，接收端接收信号
,几个接收天线上的信号表示如
1.最小二乘法（LS）信道估计
最小二乘法(Least-Square Method, LS)是一种数学上的方法，未知数据用 LS 能够很容易地获得，并且所获得的数据与实际发送数据的平方误差之和可以达到最小化。其他一些优化问题也可以用 LS 表示，其中包含最小能量和最大熵原理。LS 算法在估计信道时可以将待估计的问题作为求出一个最优化问题的解。
用信道估计值的均方误差(Mean Square Error，MSE)来评估信道重建算法的恢复性能，其中 MSE 通常定义为估计值与真实值的差的平均二范数，定义如下:
(3.5)
则通过 LS 算法估计出的信道矩阵的 MSE 为:
(3.6)
其中，是噪声的方差，
为导频的方差。从上式可以看出MSE与
成反比，因此，LS 信道估计会增强噪声使误差更大。由于在大规模 MIMO 系统中有数百个乃至更多的发射天线，LS 信道估计方法误差太大，不适合用于信道估计。
2.最大似然（ML）估计
最大似然（Maximum likelihood method，ML）算法在估计理论中起着很重要的作用。针对上面提出的系统模型，如果要对信道矩阵采用ML方法进行估计，首先需要得到似然函数
或者
。接下来 ML 算法通过如下代价函数进行信道估计:
通过式(3.9)和(3.3)可以得到，当加性高斯白噪声均值为 0 时，ML 算法和 LS 算法的信道估计矩阵相同。因为无论是 LS 还是 ML 算法都是基于接收信息发送序列的一二阶统计特性。当高斯白噪声为零均值时，接发送信息的一二阶统计特性就足以描述出随机过程。
3.最小均方误差(MMSE)信道估计
利用 LS 信道估计求出的解，记。定义一个加权矩阵Q 使得 MMSE 信道估计为
。最小均方误差（Minimum Mean Square Error，MMSE）的信道估计可以表示为
(3.10)
可以证明，选择适当的加权矩阵Q 使得上式中的 MSE 最小，误差e与正交，即
与 LS 相比，MMSE 信道估计对噪声能够起到较好的抑制作用，但在信道相关性较强的时候，MMSE 信道估计的性能反而会严重下降，这一情况在低 SNR 的天线数目很大的时候更为严重。MMSE 虽然可以用于相关性信道模型下，但信道的统计特性必须被提前知道。
