Softmax和交叉熵求导

起因：Recurrent neural network based language model中公式六有点费解

参考Classification and Loss Evaluation - Softmax and Cross Entropy Loss

Softmax函数

p_i = \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^Ne^{a_k}}
为了避免a_k过大导致浮点数溢出，一般使用常数乘子log(C)将趋向于无穷的指数修改为趋向于零的指数。通常log(C) = - max(\alpha)
\begin{align} p_i &= \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^Ne^{a_k}} \\ & = \frac{e^{a_i + log(C)}}{\sum_{k=1}^Ne^{a_k + log(C)}} \end{align}

Softmax函数求导

\frac{\partial p_i}{\partial \alpha_j} = \frac{\partial \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^Ne^{a_k}}}{\partial \alpha_j}
如果i = j，
\begin{align} \frac{\partial \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^Ne^{a_k}}}{\partial \alpha_j} &= \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^Ne^{a_k}}\times \frac{\left( \sum_{k=1}^Ne^{a_k} - e^{a_j}\right)}{\sum_{k=1}^Ne^{a_k}} \\ &=p_i (1 - p_j) \end{align}
如果i \ne j，
\begin{align} \frac{\partial \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^Ne^{a_k}}}{\partial \alpha_j} &= - \frac{e^{a_i}e^{a_j}}{ \left (\sum_{k=1}^Ne^{a_k} \right)^2} \\ &= -p_ip_j \end{align}
所以求导结果为
\frac{\partial p_i}{\partial \alpha_j} = p_i(\delta_{ij}-p_j)

交叉熵

H(y,p)=-\sum_iy_ilog(p_i)

交叉熵求导

\begin{align} L &= - \sum_iy_ilog(p_i) \\ \frac{\partial L}{\partial a_i} &= -\sum_k y_k \frac{\partial log(p_k)}{\partial p_k} \times \frac{\partial p_k}{\partial a_i} \\ & = -\sum_k y_k \frac{1}{p_k} \times p_k(\delta_{ki} - p_i) \\ & = p_i \sum_k y_k - y_i \\ &= p_i - y_i \end{align}

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