数学模型——模型拟合

模型拟合：收集已知的观测数据，通过近似准则进行模拟，分析自变量与因变量的映射关系，并用于模型的修正完善、预测等。
基本思想：通过收集数据点对，利用近似准则，对各数据点之间的关系进行分析，拟合。拟合过程中，注意原始数据变换。

切比雪夫近似准则

寻求函数 $y=f(x)$ 和 $m$ 个数据点 $(x_i,y_i)$ 的集合。使得 $|y_i-f(x_i)|$ 取值最小。其中 $i=1...,m$
主要的思路是先假定 $y=f(x)$ 的函数结构，然后通过数据与公式分析，求出相应的参数。基本的思想是极小化直线到任意对应点的最大距离（点与点之间为直线）。

极小化绝对偏差之和准则

类似于切比雪夫近似准则
该准则是寻求函数 $y=f(x)$ 和 $m$ 个数据点集合，使得
$\sum^m_{i=1}|y_i-f(x_i)|$
的值最小。

最小二乘近似准则

确定函数类型 $y=f(x)$ 的参数，极小化和数
$\sum^m_{i=1}|y_i-f(x_i)|^2$
常用的拟合方程有 $f(x)=Ax+b;f(x)=ax^n$ 等

应用最小二乘准则

拟合直线：假设模型为 $y=Ax+B$ ，利用 $m$ 个数据点集，以 $y=ax+b$ 做 $y=Ax+B$ 的估计。

此时极小化方程：
$S=\sum^m_{i=1}[y_i-f(x_i)]^2=\sum^m_{i=1}(y_i-ax_i-b)^2$
最优的一个必要条件是 $S$ 对 $a$ 和 $b$ 的偏导数都为0.即得到以下方程：
$\frac{\partial S}{\partial a}=-2\sum^m_{i=1}(y_i-ax_i-b)x_i=0\\ \frac{\partial S}{\partial b}=-2\sum^m_{i=1}(y_i-ax_i-b)=0$
整理得到：
$a\sum^m_{i=1}x_i^2+b\sum^m_{i=1}x_i=\sum^m_{i=1}x_iy_i\\ a\sum^m_{i=1}x_i+mb=\sum^m_{i=1}y_i$
然后，将m个数据点带入，得到：
$a=\frac{m\sum x_iy_i-\sum x_iy_i}{m\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}(斜率)\\ b=\frac{\sum x_i^2 \sum y_i-\sum x_iy_i\sum x_i}{m\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}(截距)$

在实际运用是，注意数据的变换

经变换的最小二乘拟合

常用技巧：取对数，然后运用直线拟合的方法做

例： $y=Ax^N$ ，用 $\alpha$ 记 $A$ 的估计， $n$ 记 $N$ 的估计

解： $y=\alpha x^n$ 取对数得
$lny=ln\alpha +nlnx(直线)$
得 $ln\alpha$ 为 $x=0$ 的截距， $n$ 是直线的斜率。由拟合直线时的方法求得：
$n=\frac{\sum (lnx_i)(lny_i)-(\sum lnx_i)(\sum lny_i)}{\sum (lnx_i)^2-(\sum lnx_i)^2 }\\ ln\alpha =\frac{\sum (lnx_i)^2(lny_i)-(\sum lnx_i)(lny_i)\sum lnx_i}{\sum (lnx_i)^2-(\sum lnx_i)^2}$