概率统计教育的回顾与展望

——《中小学概率统计教学研究》摘要6

以经济合作与发展组织（OECD）牵头实施的“国际学生评估项目”(PISA)2012年的测试结果为例,上海学生虽然取得了阅读、数学、科学三个第一名的好成绩,但是,在“不确定性和数据”这一部分的得分是592分, 比数学总平均分613分低了21分。有趣的是,英国、  美国、新西兰和澳大利亚在这一部分的得分全部略高于其总平均分。如果我们能够更加重视概率统计的教育与研究,毫无疑问,中国学生的成绩优势必将更为明显。

在国际课程发展大环境下,我国教育部2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》和2003年颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》均极大地提升了概率统计在中小学数学课程中的地位,使概率统计教学内容成为横跨我国基础教育所有学段的必学内容,并强调相应的教学重点要转移到培养学生统计意识、积累活动经验,从而学习并体会统计基本思想方法这些重要的方面。

概率统计曾几度进入过我国中学数学课程。查阅我国20世纪中小学数学课程标准或教学大纲,可以发现,关于统计图表的知识自1950年起,一直是我国小学数学的教学内容,但是，教与学一般不涉及学生自己收集数据等统计活动,基本上是对现成数据的整理与表示。

关于概率的教学,起落次数则比较多。1936-1951年间我国颁布的数学课程标准或教学大纲都在高中讲排列组合之后安排了概率内容。当时,高中代数教材中有一章是关于概率的,这些教材基本上是西方教材的中译本或改编本。中华人民共和国成立后,出于政治原因,学制、教学大纲均采用苏联模式,数学教材自然也都改编自苏联教材。因为苏联教材中没有概率内容,所以我们也就不教概率了,虽然1950年的《数学精简纲要)高中部分仍然有“或然率”这项内容,但在《对旧用教本的精简意见》中却明确指出:“或然率须少讲”1951年的数学课程标准中还保留着,但1952年起,排列组合之后的概率内容从数学教学大图中消失了。

回顾我国概率统计教育数次起伏的历史,我们发现,对于在小学和初中阶段学习用“统计图表表示数据”并“用算术平均数方差等统量来分析数据”这些统计初步的内容,历史上没有多大争议,主要的争议在于是否需要讲概率、抽样、分布、相关关系等。

从世界范围看,各国也普遍有描述性统计内容,但对什么时候开始学概率,如何学概率,差异也较大,一般也都经历了从重视计算到重视让学生参与数据收集等统计活动的过程,很多东亚国家与我们一样,也在20世纪末或21世纪初开始在高中之前尝试引人概率教学。从世界范围看,2000年之后概率统计在中小学课程中的地位有了明显的提高。

现阶段，从小学1年级开始就安排统计的教学内容,统计教学强调让学生从学看练图表入手,认识统计的作用,体会客观事物的不确定性,逐渐学会设计图表集数据,整理数据和解释数据。概率从原来进入高中必修课程都难,到现在已经进入小学数学课程。统计从原来小学初中各十几个课时,到现在覆盖从小学到高中的各个学段;教学内容从强调现成数据、套公式计算,到现在注重让学生经历从提出调查问题到收收集 、整理、分析数据和推断这样一个全过程,这样的进步是令人鼓舞和欣慰的。

认真挖掘新课程与以往改革不同之处无疑将揭示其成功的原因,笔者认为,我国目前的概率统计课程在以下方面体现出与历史做法的不同:

(1)大幅增加概率统计学习覆盖的时间和学段；

(2)强调培养统计思想和观念的课程目坛标；

（3）以频率而不是排列组合作为概率学习的基础；

(4)教学中注意讲道理并联系实际问题展开；

(5)积极利用国内外的研究成果。

下面我们逐一对这些做法及其合理性予以说明：

第一,大幅增加概率统计学习覆盖的时间和学段

现实社会中，大量存在的不是确定现象,而是不确定现象,为了帮助学生更好地认识和把握随机现象,培养他们通过数据解决问题的意识和本领,提高概率统计在学校数学课程中的地位,大幅增加学习内容和课时是必然的。

第二,强调培养统计思想和观念的课程目标。

  我国以往的概率统计教学与代数教学差别不太,在数学教学大纲中,它就是被写在代数后的下一个内容,教学和考试的重点都是计算,或算统计量,或算概率，虽然研究的是随机现象,可是学生却很少有机会专注而系统地观察随机现象，他们对随机现象的错误直觉也得不到质疑和修正。如果把统计教学定位 于单纯地对现成数据的处理,那么根本不需要这么多的课时来完成,这也是2000年课程改革之后,经常有人质疑为什么新课程要花那么多时间学习概率统计，为什么课堂上要安排那么多数据收集活动的原因,反映出对统计教学特殊性的误解。

把概率统计当作代数来教的教师,总是舍不得把宝贵的教学时间用于教材中设计的实验活动,他们会跳过数材中那些“小孩子游戏”，这样一来可以留更 多的数学时间给学生进行练习和准备考试,二来他们认为反正试验数据是不确的，做不做也无所谓。然而,已有很多研究表明既率统计学不适合采用教师口头说教、纸上谈兵的方式。因为学生的错误直觉不会因此受到质疑、调整和克服。当前，通过直观模拟试验等活动，用真实数据进行概率统计教学已经在世界上成为主流看法,教师要经常创造机会,鼓励学生在活动中检查或修正他们的信念和直觉，因为随机现象的规律性不能在几次试验中显现,所以不同于其他内容的教学,概率统计教学首先存在让学生信它的问题。

第三，以频率而不是排列组合作为概率学习的基础。

这次概率统计能够顺利进入,一个重要的改变就是不把概率教学建立在排列组合计数技巧之上,在小学阶段注重区分确定性现象和随机现象，学习记录事件发生的频数，在此基础上会使用“极少”“不太可能”“有可能”“很有可能”等词定性地描述可能性。初中阶段,进一步学习用频率估计概率,通过列表或画树状图计算概率,沟通概率的频率定义和理论定义之间的联系。到了高中2003年版的课程标准安排学生在必修课中进一步了解概率的意义,学习用产生随机数进行模拟试验的方法估计概率。希望在理工方面发展的学生在选修课中,在学完14课时的计数原理(加法原理、乘法原理、排列组合,二项式定理)之后,再学习22课时的概率统计,概率内容有离散型随机变量分布列、超几何分布、正态分布、条件概率、事件独立等。

第四,教学中注意讲道理并联系实际问题展开。

中小学数学新课程的实验教材,包括新编的一些大学概率统计教材,都力争通过讲道理来帮助学生理解,懂得方差公式背后的道理,复杂的计算公式才变得简单明了。尝试过简单随机抽样方法,对照样本数据和总体参数,才能有效打消对使用它的种种顾虑。尽量选取学生感兴趣的游戏或实际问题为题材,凸 显所学知识与现实世界的联系也已成为教材编写和教师教学的指导思想。

第五,积极利用国内外的研究成果

我国新课程的一些理念和做法借鉴了国际上的一些主流看法和做法。比如,“强调学习统计图表和简单的数据计算技能外,必须重视数据的收集、整理、分析过程,必须培养学生运用所学知识解决简单实际问题的意识和能力”“在小学就让学生了解随机现象,将有助于他们形成科学的世界观与方法论””要求学生能对数据的来源,处理数据的方法,以及由此得到的结果进行合理的质疑。”

历史经验告诉我们,学生对概率的认识并不会随着年龄的增长而自然地提高,教学才起着重要的作用。但是,是否教、如何教并不完全取决于课程标准除了教师的专业知识,很大程度上还取决于高考是否考、如何考,虽然数值化、直观化的教学途径有助于积累经验、帮助理解,但是,研究表明,理论的教学途径或实验的教学途径不能互相替代,无论哪一种途径,在帮助学生认识概率方面都有其读独特的作用。