数理统计学基本概念

什么是数理统计学

数理统计学使用概率论和其他数学方法，研究怎样收集(通过试验或观察)带有随机误差的数据，并在设定的模型(称为统计模型)之下，
对这种数据进行分析(称为统计分析)，以对所研究的问题作出推断(称为统计推断)。

举例说明

某工厂生产一批零件，假设零件的使用寿命服从指数分布。在这样一个场景下，我们可以提出一下问题：

零件的平均寿命是多少？
如果要求零件的平均使用寿命要到达m，那么这一批零件是否合格？

零件的使用寿命服从指数分布，这就是一个统计模型。指数分布的概率密度函数如下：
$\begin{equation} f(x)=\left\{ \begin{aligned} {\lambda}e^{{-\lambda}e},&x {\geq} 0, \\ 0\ , &x < 0 \end{aligned} \right. \end{equation}$

在这个分布模型中有未知参数 $\lambda$ ，我们必须从这一批零件中随机抽取一部分样本，根据样本的测量数据来对 $\lambda$ 作出估计。但是这个估计值肯定是存在误差，那么误差可能有多大？产生指定大小的误差的概率又有多大？为了使这个概率降至指定的限度(如0.1)，抽出的零件的个数至少应该要达到多少？这些问题都是数理统计学的内容。

本例提出的第一个问题成为参数估计问题，因为 $\lambda$ 是零件寿命分布的一个未知参数。

对于第二个问题，一个很直观的结论可能是：既然已经确定了 $\lambda$ 的值，就能得到样本零件的平均寿命，以此作为这批零件的平均寿命的估计值。那么直接比较这个估计值和m，就能知道这批零件是否合格。

然而，需要注意到用样本的平均值去估计总体的平均值是存在误差的。因此，在估计的时候，需要对m进行调整(如m1)。但是，无论如何指定m1，都存在两种出错的可能：

零件的寿命达到指定的m1，却被定义为不合格
零件的寿命未达到指定的m1，却被定义为合格

总之，第二个问题的实质是从两个选择中选择一个，这称为假设检验

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数理统计学基本概念