行列式——基础知识

前言：开始线性代数的复习

0X00 「二阶行列式」与「三阶行列式」

首先我们来看看两个最基础的「行列式」：

二阶行列式

$\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right| = ad - bc$

三阶行列式

$\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$

记忆这个公式是有技巧的：

「对角线」往上的三条斜线减去「副对角线」往上的三条斜线

通过看这个图理解这句话：

$\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|$

对角线是： $a_{11}a_{22}a_{33}$ 往上就是 $a_{12}a_{23}a_{31}$ 和 $a_{13}a_{21}a_{32}$

副对角线是： $a_{13}a_{22}a_{31}$ 往上就是 $a_{12}a_{21}a_{33}$ 和 $a_{11}a_{23}a_{32}$

0X01 「行列式」的定义

至此，我们引出 n 阶行列式的定义：

$\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right|$

这个 n 阶行列式的定义如下：

首先做出表中不同行不同列的 n 个数的乘积：

$(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}$

其中 t 是 $p_1, p_2, \cdots , p_n$ 的逆序数，p 的含义是，在那一行的第几个

当我们把所有的情况列出并求和，就是 n 阶行列式

$\sum(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}$

什么是「逆序数」

假设我们有这么一串数字：4, 3, 2, 1

它的逆序数字等于：3（有 3 个比 4 小的数字，却排在 4 的后面）+ 2（有 2 个比 3 小的数字，却排在 3 的后面）+ 1（有 1 个比 2 小的数字，却排在 2 的后面）= 6

再假设我们有这么一串数字：1 2 3 4

它的逆序数字等于：0（有 0 个比 1 小的数字）+ 0（有 0 个比 2 小的数字）+ 0（有 0 个比 3 小的数字）+ 0（有 0 个比 4 小的数字）= 0

比如对于三阶行列式：

$\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|$

我们可以找到 $n! = 3! = 6$ 个不同行不同列的元素相乘，我随便列出一列： $a_{13}a_{22}a_{31}$ 是行列式的一部分，它的逆序数 (3, 2, 1) 等于 2 + 1 = 3

所有它的符号是 $-1^{3} = -1$

0X02 「行列式」的性质

假设有行列式 D,则有以下性质：

$D = D^T$

$D^T$ 是转置的意思，其实就是把整个行列式按照主对角线对称

对换行列式的两行（列）行列式变号

比如我们将行列式简写成：

$\left|\begin{matrix}C1&C2&C3\\\end{matrix}\right|$

如果交换 $C_1, C_3$ 则有：

$\left|\begin{matrix}C1&C2&C3\\\end{matrix}\right| = -\left|\begin{matrix}C3&C2&C1\\\end{matrix}\right|$

如果有两行（列）完全相同，则此行列式为 0

$\left|\begin{matrix}C1&C2&C1\\\end{matrix}\right| = 0$

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k，等于用 k 乘以此行列式

$\left|\begin{matrix}C1&C2&kC3\\\end{matrix}\right| = k\left|\begin{matrix}C1&C2&C3\\\end{matrix}\right|$

如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为 0

$\left|\begin{matrix}C1&C2&kC1\\\end{matrix}\right| = 0$

若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将行列式按以下方式拆成两个行列式相加

$\left|\begin{matrix}a + m&b + n\\c + x&d + y\end{matrix}\right|$

$=\left|\begin{matrix}a&b + n\\c&d + y\end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix}m&b + n\\x&d + y\end{matrix}\right|$

$= \left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|+ \left|\begin{matrix}a&n\\c&y\end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix}m&b\\x&d\end{matrix}\right|+ \left|\begin{matrix}m&n\\x&y\end{matrix}\right|$