这里是根据网上的的教程结合个人的理解形成的概念，只是记一下，希望理解
排列：就是有一组固定顺序的数组成的一个序列称为一个排列，如：364；逆序：对于这个排列中任何一个数a，只要大于后面的一个数b，那么a和b就构成一个逆序数对，这个排列中的所有的逆序数对的总个数就是这个排列的逆序数，记为：τ(364)=0+1=1；行列式：n行n列组成的形式为行列式，不同阶的行列式有可能相等；
行列式的计算，列错开相乘(每行取一个数，但是这组数不能同列)的结果与该项逆序数的结果(逆序数偶数则为正，奇数则为负)组成一个项，所有的项相加的结果就是这个行列式的结果；
余子式Mi·j：行列式中一项ai·j，干掉第i行第j列后剩余的结果就是ai·j的余子式
代数余子式Ai·j：余子式乘以(-1)(i+j)；所以下标之和是偶数则余子数和代数余子数相等，奇数，则二者是相反数；
对角行列式：正对角线有值，其余都是0的行列式；上三角行列式是正对角线上方有值，下三角行列式同理，而且这三个行列式的值是一样的；
负对角行列式：负对角线有值，其他全为0，值为负对角线的乘积再乘以-1的n(n-1)/2次方；
范德蒙行列式：对于行列式的任意一列满足：第一行值为一个数字的0次方，第二行的值为一个数字的1次方，第三行为一个值的2次方。。。第n行的值为一个数的n-1次方；计算很简单，这个数我们取a，那么对于二阶的范德蒙行列式的值是(a2-a1)；三阶：(a3-a1)(a3-a2)(a2-a1)；四阶：(a4-a1)(a4-a2)(a4-a3)(a3-a1)(a3-a2)(a2-a1)；等
-
行列式的计算性质，确保我们可以把任何的一个行列式转化成一个上三角行列式或者下三角行列式：
- 任何一个行列式的值与这个行列式的转置相等；
- 调换任意的两行/列，那么结果变为相反数；
- 提取行/列中的公因子；
-
行列式的计算性质推论
- 行列式中的一行为0，那么这个行列式的结果就是0；
- 行列式中的任意两列或两行相同或者成比例，那么这个行列式的结果就是0；
-
如果一个行列式中的一行/列中可以拆分成两个数字的和，那么这个行列式就可以拆分成两个行列式的和，如下图：；
拆分性质 -
行列式中的一行的元素的k倍加到另外一行上，这个行列式的结果不变，看图：
倍数相加性质
-
降阶：
- 分别计算出行列式中每一个元素的代数余子式，每一行计算作为一组，有如下结论：
- 每组元素中，元素与自身的代数余子式相乘，把该组的所有乘积相加，结果就是这个行列式的计算结果；
-
让两组同列不同行的元素与另一组同列不同行的元素的代数余子数相乘，结果就是0；
行列式计算验证 -
行列式的降阶性质：取第i行，有(上面的验证)：
image.png
image.png - 降阶不是任何时候都适用，在某行有很多0的时候就适合适用降阶，因为元素为0，那么代数余子数就是0；
-
如：
降阶案例
- 分别计算出行列式中每一个元素的代数余子式，每一行计算作为一组，有如下结论：
-
克莱姆法则（Cramer's Rule）
克莱姆法则
image.png- 定理1，对于齐次线性方程组(D代表系数行列式)：
- D≠0 充要条件 齐次方程组只有0解；
- D=0 充要条件 除了0解外还有无数非零解；
- 定理2，对于非齐次线性方程组(D代表系数行列式)：
- D≠0 充要条件 非齐次方程组有唯一解，且xi=Di/D；
- D=0 要么无解，要么无数解；
- 定理1，对于齐次线性方程组(D代表系数行列式)：
- 行列式的对换：对换改变行列式的奇偶性，因为逆序数改变了（行列式的和项没有相等的）
- 相邻对换：
- 推论
- 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，
- 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.
行列式的性质：
行列式与该行列式的转置是相等的
互换行列式的两行（列）,行列式变号.
如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零
行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式.
行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
所有行列式的计算
- 可以通过上面的6条性质吧这个行列式转换成一个上三角挥着下三角行列式来计算
- 利用性质把行列式转化为在某个行或列上只有一个非零的数字，就可以使用余子式的方式进行降维运算
行列式中余子式的意义在于：可以降维
Vandermonde行列式：对于每一列，每个元素都是x的i次幂
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
