• 信息存储
  • 十六进制
    • 十六进制的表示
    • 十六进制与二进制、十进制的转化
  • 字数据大小
  • 寻址和字节顺序
  • 表示字符串
  • 表示代码
  • 布尔代数
  • C语言中相关运算
    • 位级运算：&，|，~
    • 逻辑运算：&&，||，！
    • 移位运算：<<，>>
• 整数表示
  • 整形数据表示
  • 编码
    • 无符号数(Unsigned)
    • 补码(Two's-Complement)
    • 无符号数和有符号数之间的转换
    • C语言中无符号数与有符号数的转换
  • 扩展位表示
  • 截断数字
• 整数运算
  • 加法
    • 无符号加法
    • 补码加法
  • 取非
    • 无符号数
    • 补码
  • 乘法
    • 无符号数
    • 补码
  • 乘以常数
    • 与2的幂相乘
    • 与任意常数相乘
  • 除以2的幂
    • 无符号数
    • 补码
• 浮点数
  • 二进制小数
  • IEEE浮点表示
    • 规格化
    • 非规格化
    • 特殊值
      • 无穷大
      • NaN(Not-a-Number)
  • 舍入规则
  • 浮点运算
    • 加法
    • 乘法
  • 类型转换

信息存储

• 大多数计算机以字节（1 byte = 8 bits）作为最小可寻址的内存单位。

• 虚拟内存：机器级程序将内存视为字节数组。

• 地址：标识每个字节的唯一数字。

• 虚拟地址空间^[1]：所有可能的地址集合。

十六进制

十六进制的表示

• 前缀0x/0X，字母可用大写A - F或小写a - f

  记住A，C，F的十进制值

十六进制与二进制、十进制的转化

• 十六进制&二进制：四位二进制转化为一位十六进制，位数缺少时整数部分左侧补零，小数部分右侧补零。

• 十六进制&十进制：乘除法

  2的非负整数n次幂转化为十六进制：n = i + 4 * j （i = 1, 2, 3）时，十六进制表示为2的 i 次方后有 j 个0

字数据大小

• 字长决定了虚拟地址空间的最大大小：字长w位，虚拟地址范围为0 ~ 2^w - 1，即可以访问2^w个字节。

• 程序时32位还是64位取决于它是如何编译的。

2-1.png

寻址和字节顺序

• 多字节对象被存储为连续的字节序列。

• 字节存储顺序：一个数据类型内部字节的存储顺序

  • 大端法：高位字节优先存储

  • 小端法：低位字节优先存储

    大端法（big endian）和小端法（little endian）取自《格列佛游记》中打破鸡蛋的方式。原文暗讽英法两国持续的战争，而这里则暗示选择两种存储顺序没有技术上的理由，无谓好坏。

• 需要注意字节存储顺序的三种情况

  • 不同机器通过网络传送二进制数时，由小端法机器传送给大端法机器的字节顺序会被认为是反序，反之亦然。此时应统一编写网络应用程序的字节顺序规则，由发送方机器将其内部表示先转化为网络标准，再由接收方机器将收到的网络标准转化为其内部表示。

  • 阅读小端法机器的程序表示时。

  • 规避正常类型系统时，即运用了强制类型转换或联合。例如：运用强制类型转换生成对象的字节表示。

    #include<stdio.h>
    
    typedef unsigned char *byte_pointer; //指向字节序列的指针
    
    void show_bytes(byte_pointer start, size_t len){
        size_t i; //size_t是表示数据结构大小的首选数据类型(这里为sizeof的结果)
        for(i = 0; i < len; i++) printf("%.2x", start[i]); //%.2x表示两位16进制数
        printf("\n");
    }
    
    void show_int(int x){
        show_bytes((byte_pointer) &x, sizeof(int));
    }
    
    void show_float(float x){
        show_bytes((byte_pointer) &x, sizeof(float));
    }
    
    void show_pointer(void *x){
        show_bytes((byte_pointer) &x, sizeof(void *));
    }
    //这里的强制类型转换并未改变指针, 只是告诉编译器以新的数据类型看待被指向的数据
    //例如, show_int中将&x看作int指针时, 进入"下一个"地址会跨越四个字节; 看作char指针时, 进入"下一个"地址只会跨越1个字节
    

表示字符串

• 字符串编码以null(0x00)结尾。
• 最常见的字符编码是ASCII码。字符串的字节序列在使用ASCII编码的任何系统上都有相同结果，与字节顺序规则和字长大小无关。

表示代码

• 从机器的角度看，程序代码只是字节序列。
• 不同机器对于相同程序的二进制编码不同且不兼容。

布尔代数

• 位向量可用于表示有限集合的子集，位向量的与或非等价于集合的交并补。
• 布尔代数与整数算术有相似之处：交换律，结合律，分配律（布尔代数的分配律可以理解为对整数算术分配律的推广。因为布尔代数中，不仅&对|有分配律，|对&也有分配律）

C语言中相关运算

位级运算：&，|，~

• 掩码运算。掩码表示从一个字中选出的位的集合，如0xFF表示一个字低位字节都是1。x&0xFF表示x的最低字节不变，其他字节都被置为0。

  习题2.10&2.11

  注意：指向相同地址的两个指针，改变其中一个，则另一个也会变

  #include<stdio.h>
  #include<stdlib.h>
  
  void inplace_swap(int *x, int *y){
      *y = *x ^ *y;
      *x = *x ^ *y;
      *y = *x ^ *y;
  }
  
  void reverse_array(int a[], int cnt){
      int first, last;
      for(first = 0, last = cnt - 1; first <= last; first++, last--)
          inplace_swap(&a[first], &a[last]);
  }
  
  int main(){
      int a[5] = {1, 2, 3, 4, 5};
      reverse_array(a, 5);
      for(int i = 0; i < 5; i++) printf("%d", a[i]);
      //最终结果为{5，4，0，2，1}, first = last时, *x = *y, *y = *x ^ *y = 0时, *x也被置为0
      return 0;
  }
  

逻辑运算：&&，||，！

• 逻辑运算中，只有0（FALSE）和1（TRUE），所有非零参数均表示1（TRUE）
• 逻辑运算具有提前终止的特点。当第一个参数就能确定表达式的值时，就不会计算第二个参数。

移位运算：<<，>>

• 左移即在低位补0。右移分为逻辑右移和算术右移。逻辑右移在高位补0，算术右移在高位补符号位。
• 由w位组成的数据，移动k位。若k>w，则只视为移动k mod w位。移位指令只考虑移位量k的低logw位。
• 移位运算符合左结合律：x<<j<<k = (x<<j)<<k
• 移位运算优先级低于加减法：x<<a+b<<k = (x<<(a+b))<<k

整数表示

整形数据表示

• unsigned / (signed) + char, short, int, long
• 数据类型取围：32位、64位、C语言标准均有不同

编码

无符号数(Unsigned)

• B2U
• UMax, UMin
• 无符号数编码具有唯一性（B2U是双射）

补码(Two's-Complement)

• B2T

• TMax, TMin

  -TMax = 0 - TMax = TMax

• 补码编码具有唯一性（B2T是双射）

• |TMin| = TMax + 1

• UMax = 2 * TMax + 1

• -1和UMax有相同的位模式

• 有符号数的其他表示方法

  • 原码(Sign-Magnitude)
  • 反码(Ones'-Complement)：对于无符号数x，-x的w位表示在反码中相当于[11…1] - x，在补码中相当于2^w - x

无符号数和有符号数之间的转换

• 保持位模式不变

• 对于x，0≤x≤TMax时T2U(x) = U2T(x)，否则转换时需对x加上或减去2^w

2-2.png

C语言中无符号数与有符号数的转换

• 显示转换：强制类型转换
• 隐式转换
  • 不同类型变量赋值：保持被赋值的变量类型不变
  • 输出函数printf中通过"%d"与"%u"进行转换
  • 运算中，如果有符号数和无符号数同时出现，则视为无符号运算

扩展位表示

• 无符号数进行零扩展，值不变。
• 有符号数进行符号扩展，值不变。
  • 高位全是1和只有最高位为1对数值大小没有影响，可用于简化运算。

截断数字

• 直接截断高位。
• 无符号数相当于取模（x%2^w = x'）
• 有符号数相当于转化为无符号数取模后，再转化为有符号数。

有符号数和无符号数之间的转换容易引起错误。详见习题。

整数运算

模数运算形成数学结构：阿贝尔群

无符号数运算和补码运算有完全相同的位级表示。

加法

无符号加法

正常情况x+y的值保持不变，溢出情况的结果是x+y-2^w

2-3.png

检测无符号加法的溢出：对于无符号数s=x+y，当且仅当s<x（等价地，s<y）时，发生溢出

补码加法

正常情况x+y的值不变，正溢出情况结果是，负溢出情况结果是。

2-4.png

检测补码加法的溢出：对于补码s=x+y，当且仅当x<0，y<0，s≥0时，发生负溢出；当且仅当x>0，y>0，s≤0时，发生正溢出。

取非

得到取非结果的位级表示的方法：①按位取反后加一。②设k是最右边的1的位置，对k左边所有位取反即可。

无符号数

对于无符号数-x，x=0时结果是其本身，否则结果是2^w-x

补码

对于补码-x，x=TMin时结果是其本身，否则结果是-x

乘法

无符号数

x * y=(x * y) mod 2^w

补码

将结果位级表示转化为补码即可

乘以常数

与2的幂相乘

与2的k次幂相乘转化为左移k位实现。

与任意常数相乘

将常数K表示为0和1交替的二进制序列，将乘法运算转化为移位运算和加减法的组合。

设K的二进制表示中所有的1连续出现，且从位置n到位置m有连续的1

形式1：x * K = (x<<n )+ (x<<(n-1)) + ... + (x<<m)

形式2：x * K = (x<<(n+1)) - (x<<m)

不符合条件的情况可通过变换得到。

除以2的幂

无符号数

除以2的k次幂转化为右移k位实现，得到向下取整的结果。

补码

正数向下取整：除以2的k次幂转化为右移k位实现

负数向上取整：除以2的k次幂转化为，先加偏置量2^k-1=(1<<k)-1，后右移k位

• 原理：
  

“溢出”是针对码值转化为数值后，不符合直观运算规则而言的。但实际上码值运算规则无谓“溢出”，永远符合相同规则。如A+B=C就有C-B=A。

浮点数

二进制小数

IEEE浮点表示

• 符号s：0正1负

• 尾数M：1 ~ 2-ε 或 0 ~ 1-ε

• 阶码E

2-5.png

• 符号位s编码符号s

• k位阶码字段exp编码E

• n位小数字段frac编码M

2-6.png

• IEEE编码保证了从非规格化到规格化的平滑过渡

规格化

E=Exp-Bias

• Exp是exp的无符号整数值
• Bias=
• exp≠00…0且exp≠11…1
• M=1.frac

非规格化

E=1-Bias

• Bias=2^k-1
• exp=00…0
• M=0.frac
• 用于表示0附近的小数值

特殊值

无穷大

exp=11...1，frac=00...0

NaN(Not-a-Number)

exp=11...1，frac≠00...0

舍入规则

• 向偶数舍入：四舍六入五凑偶
• 改变编码格式时，对于非规格化表示，先考虑能否转化为规格化保留精确度，否则再舍入
• 其他舍入方式：向0舍入，向下舍入，向上舍入

浮点运算

加法

• 满足交换律，不满足结合律
• 除了无穷和NaN之外都有逆元
• 符合单调性：若a≥b，则x+a≥x+b（a,b,x为除NaN之外的任意值）。无符号数和补码加法不符合单调性。

乘法

• 满足交换律，不满足结合律
• 乘法对加法不满足分配律
• 符合单调性：a≥b，若c≥0，则a * c ≥ b * c；若c≤0，则a * c ≤ b * c（a,b,c为除NaN之外的值）无符号数和补码乘法不符合单调性。
• a * a ≥ 0（a≠NaN）

类型转换

• int -> float 不会溢出，但可能舍入
• int/float -> double 不会溢出，保留精度
• double -> float 可能溢出或者舍入
• float/double -> int 向0舍入，或在无法确定整数近似值时（例如溢出）产生TMin

1. 对于程序存储的管理完全是在虚拟地址空间中进行的。例如，指针指向的就是字节块的虚拟地址。 ↩