线性方程组
，用%7D%3DBx%5E%7B(k)%7D%3Df)
的方式迭代求解，称作线性方程组的迭代法。令映射
为%3DBx%2Bf)
，迭代法解线性方程组本质上是想找映射
的不动点。
首先，可以用Banach不动点定理对映射的不动点的存在性进行分析。是一个压缩映像（contraction），当且仅当：
%20-%20g(y)%20%5C%7C%20%3C%20%5C%7C%20x%20-%20y%20%5C%7C%20%5CLeftrightarrow%5C%7C%20B(x-y)%20%5C%7C%20%3C%20%5C%7C%20x-y%20%5C%7C)
当然在这里还并没有指定
空间中的范数是什么。但因为有限维Banach空间中范数的等价性，只要对任意一种范数是压缩映像，那么就存在不动点！
不动点的存在性转化为对矩阵
的范数的分析，只要：
上式
表示任意一种向量范数。到现在，容易知道，我们只要知道的某一种与向量范数相容的矩阵范数，有
，就能判断存在不动点。
记
是矩阵最大的奇异值，这个也叫做的谱半径（%3D%5Csqrt%7B%5Clambda_%7B%5Cmax%7D%20(B%5ET%20B)%7D)
）
谱半径的意思就是，
在单位球
上的最大值就是。
假如说
，对某种矩阵范数和向量范数成立，那么，根据矩阵范数与向量范数的相容性，知道
，即
，矩阵的谱半径是所有矩阵范数的下界！
以上所说的矩阵范数指的都是与向量范数相容的。
因此，判断的不动点是否存在只需要看的谱半径（最大奇异值）是否小于1即可。
最后，Banach不动点定理只是一个充分性定理，就算的谱半径大于1，仍然可能存在不动点。
