粒子群算法

粒子群算法源于复杂适应系统（Complex Adaptive System,CAS）。CAS理论于1994年正式提出，CAS中的成员称为主体。比如研究鸟群系统，每个鸟在这个系统中就称为主体。主体有适应性，它能够与环境及其他的主体进行交流，并且根据交流的过程“学习”或“积累经验”改变自身结构与行为。整个系统的演变或进化包括：新层次的产生（小鸟的出生）；分化和多样性的出现（鸟群中的鸟分成许多小的群）；新的主题的出现（鸟寻找食物过程中，不断发现新的食物）。

PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pbest,gbest)来更新自己。
在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己的速度和位置。

i 表示第 i 个粒子， d 表示粒子的第 d 个维度。r1, r2 表示两个位于 [0, 1] 的随机数（对于一个粒子的不同维度，r1, r2 的值不同）。pbest[i] 是指粒子取得最高（低）适应度时的位置，gbest[i] 指的是整个系统取得最高（低）适应度时的位置。

实践

我们用 PSO 算法求解如下函数的最小值

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


INF = 1e5

def plot_cost_func():
    """画出适应度函数"""
    fig = plt.figure()
    ax = Axes3D(fig)
    X = np.arange(-4, 4, 0.25)
    Y = np.arange(-4, 4, 0.25)
    X, Y = np.meshgrid(X, Y)
    Z = (X**2 + Y**2) - 10
    ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
    plt.show()

def fitness(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2 - 10

class PSOSolver(object):
    def __init__(self, n_iter, weight=0.5, c1=2, c2=2, n_particle=5):
        self.n_iter = n_iter
        self.weight = weight
        self.c1 = c1
        self.c2 = c2
        self.n_particle = n_particle
        self.gbest = np.random.rand(2)
        # gbest 对应的函数值
        self.gbest_fit = fitness(self.gbest)
        # 将位置初始化到 [-5, 5]
        self.location = 10 * np.random.rand(n_particle, 2) - 5
        # 将速度初始化到 [-1, 1]
        self.velocity = 2 * np.random.rand(n_particle, 2) - 1
        self.pbest_fit = np.tile(INF, n_particle)
        self.pbest = np.zeros((n_particle, 2))
        # 记录每一步的最优值
        self.best_fitness = []
    
    def new_velocity(self, i):
        r = np.random.rand(2, 2)
        v = self.velocity[i]
        x = self.location[i]
        pbest = self.pbest[i]
        return self.weight * v + self.c1 * r[0] * (pbest - x) + \
               self.c2 * r[1] * (self.gbest - x)

    def solve(self):
        for it in range(self.n_iter):
            for i in range(self.n_particle):
                v = self.new_velocity(i)
                x = self.location[i] + v
                fit_i = fitness(x)
                if fit_i < self.pbest_fit[i]:
                    self.pbest_fit[i] = fit_i
                    self.pbest[i] = x
                    if fit_i < self.gbest_fit:
                        self.gbest_fit = fit_i
                        self.gbest = x
                self.velocity[i] = v
                self.location[i] = x
            self.best_fitness.append(self.gbest_fit)

    
if __name__ == '__main__':
    plot_cost_func()
    n_iter = 20
    s = PSOSolver(n_iter)
    s.solve()
    print(s.gbest_fit)
    plt.title("Fitness Curve")
    plt.xlabel("iter")
    plt.ylabel("fitness")
    plt.plot(np.arange(n_iter), np.array(s.best_fitness))
    plt.show()