【五次方程根式解系列】范德蒙方法解一元三次方程

关于范德蒙

范德蒙方法的启示来源

范德蒙方法的启示来源是根与系数的关系
韦达发现了一元n次方程的根和系数的关系

$x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$
有n个根（代数基本定理）
$x_1, x_2, x_3, ..., x_n$
这些根有以下这样的关系
$\sigma_1 = x_1 + x_2 + ... + x_n = -a_1 \\ \sigma_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + ... x_1x_n + ... + x_ix_j = a_2, \\这里的下标是从n中取2个数组成的所有组合数一共有 \tbinom{n}{2} 个 \\ \sigma_k = \sum x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_k} = (-1)^ka_k, 这些下标是 \tbinom{n}{k} 的组合数 \\ ... \\ \sigma_n = x_1x_2...x_n$

范德蒙方法的计划是想通过根与系数的关系把根表示成系数的代数形式

比如对一元二次方程
$x^2 + px + q = 0$
他的两个根 $\alpha , \beta$ 可以写成
$\alpha = \frac12 [(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)] \\ \beta = \frac12[(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)]$

写成这样的目的是为了一个把其中的 $\alpha + \beta$ 变成初等对称多项式的形式，从而在根与系数的那一列表中找出系数项
$\alpha + \beta$ 很显然，它就是第一行，等于 $-p$
而 $\alpha - \beta$ 需要进行一些技巧的变换
$\pm(\alpha - \beta) = \pm\sqrt{(\alpha - \beta)^2} \\ = \pm\sqrt {(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} \\ = \pm\sqrt {p^2 - 4q}$
这正是一元二次方程的怕判别式 $\Delta$ 带入到上面的式子就可以得到方程的求根公式

$\alpha, \beta = \frac12(-p \pm \sqrt{p^2-4q})$

范德蒙方法的思想概括起来就是设法用初等式子，即上面根与系数的关系那些 $\sigma$ 系列完成根的表达，从而根全部可以被右侧的系数表达出来——如果根存在这种四则运算和球根运算的表达的话

处理一元三次方程的想法及操作过程

一元三次方程 $x^3 + px + q = 0$ 用范德蒙方法要怎么操作

在此之前，简要叙述而不证明牛顿定理——
一个有n个元的对称式是指，在置换 $S_n$ 式子保持不变，
例如
$x^2 + y^2 + z^2$ 在置换 (12) (123) (132) (23) 下都保持不变，这里表达置换的方法有点抽象，(12) 是指，第一个位置和第二个位置对调，第三个位置不变，x 变成 y， y变成 x，（123）则是1变成2,2变成3,3变成1，
也就是 $x \rightarrow y, y \rightarrow z, z \rightarrow x$

牛顿定理说，对称多项式可以唯一表达成初等多项式的组合，也就是上面那一堆 $\sigma_i$ 的乘或者加减构成的多项式。

这样的话再回来考察范德蒙方法。
在二次方程的解中，首先要把根表示成一个对称多项式的形式，然后把它转换成初等多项式，最后应用韦达定理。

这是比较困难的。
第一，寻找这种对称多项式要靠一些灵感
第二，对称多项式转化成初等多项式也不是那么容易，特别是维度较高的情形

但是范德蒙还是找到了三次方程的解决路径。

首先他用 $x^3 =1$ 的根构造对称多项式，这个方程有一个实数根 1，还有两个复数的根 $\frac{-1\pm \sqrt{3}i} {2}$ 将它们记为 $\omega = \frac {-1 + \sqrt{3}i} {2}$

$\omega^2 = \frac {-1 - \sqrt{3}i} {2} \\ \omega^4 = \frac {-1 + \sqrt{3}i} {2} = \omega \\ \omega^3 = \frac {-1 - \sqrt{3}i} {2} \times \frac {-1 + \sqrt{3}i} {2} = 1$

由于 $x^3 - 1 = x^2 + x + 1$ 可知对于 $\omega$
必有 $\omega ^2 + \omega + 1 = 0$

范德蒙对待三元一次方程构造对称多项式的方法是这样的
首先将三个根 $\alpha, \beta, \gamma$ 表示成
$\alpha = \frac13[(\alpha + \beta + \gamma) + (\alpha + \omega\beta + \omega^2\gamma) + (\alpha + \omega^2\beta + \omega\gamma)] \\ \beta = \frac13[(\alpha + \beta + \gamma) + \omega^2(\alpha + \omega\beta + \omega^2\gamma) + \omega(\alpha + \omega^2\beta + \omega\gamma)] \\ \gamma = \frac13[(\alpha + \beta + \gamma) + \omega(\alpha + \omega\beta + \omega^2\gamma) + \omega^2(\alpha + \omega^2\beta + \omega\gamma)]$
验证上面的等式只需注意 $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ 和 $\omega^3 = 1$ 即可

上面的 $\alpha + \beta + \gamma$ 显然是对称多项式并且等于 $\sigma_1$
后面那一坨呢？

我们得用 $S_3$ 的变换逐一去验证它们，
对于
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ 简单记为 $(1)$ ,
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ 记为 $(1 \ 2)$ , 同理 $S_3 = \{(1), (1 \ 2), (2 \ 3), (1 \ 3), (1 \ 2 \ 3), (1 \ 3 \ 2) \}$ 共有6个元素
恒等变换肯定是不会改变的

记 $U = (\alpha + \omega\beta + \omega^2\gamma)^3, V = (\alpha + \omega^2\beta + \omega\gamma)^3$
$u = \alpha + \omega\beta + \omega^2\gamma， v= \alpha + \omega^2\beta + \omega\gamma$ 那么上面三个根的表达式可以简单记为

$\alpha, \beta, \gamma = \frac13(\alpha + \beta + \gamma) + \sqrt[3]{\frac{U^3}{27}} + \sqrt[3]\frac{V^3}{27} \\（*）$

变换	原	像	原	像
$(1 \ 2)$	$u$	$\omega v$	$U$	$\omega^3V = V$
$(1 \ 2)$	$v$	$\omega^2 u$	$V$	$\omega^6U = U$
$(1 \ 3)$	$u$	$\omega^2 v$	$U$	$\omega^6 U = U$
$(1 \ 3)$	$v$	$\omega u$	$V$	$U$
$(2 \ 3)$	$u$	$v$	$U$	$V$
$(2 \ 3)$	$v$	$u$	$V$	$U$
$(1 \ 2 \ 3)$	$u$	$\omega^2 u$	$U$	$U$
$(1 \ 2 \ 3)$	$v$	$\omega v$	$V$	$V$
$(1 \ 3 \ 2)$	$u$	$\omega u$	$U$	$U$
$(1 \ 3 \ 2)$	$v$	$\omega^2 v$	$V$	$V$

上面的验算表明 $U$ 要么保持不变，要么变成 $V$ , $V$ 变成 $U$ , 可见 $U + V, UV$ 在 $S_3$ 下是保持不变的，表达式（*）可以表示成初等多项式的形式
因为
$\alpha + \beta + \gamma = 0$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha =p$
$\alpha\beta\gamma = q$
因此 $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta +\gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = -2p$

$UV = (uv)^3 = [\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + (\omega^2 + \omega)(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)]^3 = (-2p - p)^3 = -27p^3$

$U + V = -27q$

验算过程
$u + v = 2\alpha - \beta - \gamma = 3\alpha (因为\alpha + \beta + \gamma = 0) \\$
上面已经计算过， $uv = -3p$
所以
$U + V = u^3 + v^3 = (u + v)^3 - 3uv(u + v) = (3\alpha)^3 - 3(-3p)(3\alpha) = 27\alpha^3 + 27p\alpha \\ = 27(\alpha^3+p\alpha) \\ \alpha 满足 x^3 + px + q = 0 所以 \alpha^3+p\alpha = -q$
所以
$U + V = -27q$

接下来， $U, V$ 可以转换为一元二次低一阶的方程的求解
$t^2 -(U + V)t + UV = 0 即 \\ t^2 + 27qt - 27p^3 = 0$

中间的步骤省去，可以得到卡尔丹公式
$x = \sqrt[3]{\frac{-q}2 + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-q}2 - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$

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