FOC学习

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可参考书籍《电力拖动自动控制系统-运动控制系统》

FOC框图
IQ库学习
电流采样
坐标变换
矢量合成学习(SVPWM)
位置估算
坐标变换对应的参数方程
正交坐标系的状态方程
1. 以速度\定子电流\转子磁通为输入量的状态方程
2. 以速度\定子电流\定子磁通为输入量的状态方程
转子磁链计算

FOC框图

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IQ库学习

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电流采样

电流采样

电流采样实则是指，当桥臂导通时相应通过的相电流，由于三相电流代数和为0，所以我们仅采样其中两项电流，第三相电流通过代数和为0反推出来。
同时由于采样的功率电阻不大（图为0.15欧）,通过的电流就算1A电压也不大，所以需要通过运放进行电压放大，放大后接入单片机的AD采样口，
换算公式可以如 $\frac{5V}{(0.15Ω * xA * M倍)} * 4096(采样精度12位)$

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AD校正偏差

由于电路本身的差异性，我们需要在上电前到电压稳定后先进行AD采样，作为初始的偏移AD值
电流代数计算
设：采样电阻为R，放大倍数为A，精度为12位4096，电压V为5000mV，采样的值是d
$i_a = \frac{5000ARd_a}{4096},i_b = \frac{5000ARd_b}{4096},i_c=-i_a-i_b$
电流采样方式
1. 单电阻采样
- 单电阻采样：通过母线电流，实现一个周期内两相电流的先后采样，通过三相电流代数和为0，算出第三相电流。(对AD采样要求高，PWM控制精度高)
  
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1. 双电阻采样
- 双电阻采样：通过对桥臂电流采样实现，一个周期两相电流的同时采样，通过电流代数和为0，换算出第三相电流。
  
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坐标变换

转子磁场的定向控制是指：控制逆变输出使得q-d坐标系和M-T坐标系重合

定子坐标系变换(Clarke变换)
- 定子坐标系变换(Clarke变换)是指: 把三相定子绕组A-B-C(每相相差120°)坐标系转换为 $\alpha-\beta$ 坐标系
- $\alpha-\beta$ 坐标系( $\alpha$ 轴与A轴重合， $\beta$ 轴超前 $\alpha$ 轴90°)
 
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设：三相电绕组的匝数为 $N_3$ ,两相绕组有效匝数为 $N_2$
$N_2i_{\alpha}=N_3i_A-N_3i_Bcos\frac{\pi}{3}-N_3i_Ccos\frac{\pi}{3}=N_3(i_A-\frac{i_B}{2}-\frac{i_C}{2}) \tag{1}$
$N_2i_{\beta}=N_3i_Bsin\frac{\pi}{3}-N_3i_Csin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}N_2(i_B-i_C) \tag{2}$
$i_A+i_B+i_C=0 \tag{3}$
由式(1)(2)和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (3)(取 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是因为刚好使得矩阵成为正交矩阵)可得
$\left[ \begin{matrix} i_{\alpha} \\i_{\beta} \\0\end{matrix} \right] = \frac{N_3}{N_2} \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_A \\i_B \\i_C\end{matrix} \right] \tag{4}$
由于变换前后总功率不变，因而 $\frac{N_3}{N_2} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ ,整理后可得Clarke变换：
$\left[ \begin{matrix} i_{\alpha} \\i_{\beta} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \sqrt{\frac{3}{2}} & 0\\\sqrt{\frac{1}{2}} & \sqrt{2} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_A \\i_B\end{matrix} \right] \tag{5}$
矩阵(5)对应的逆变换(Clarke逆变换)为：
$\left[ \begin{matrix} i_A \\i_B\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \sqrt{\frac{2}{3}} & 0\\-\sqrt{\frac{1}{6}} & \sqrt{\frac{1}{2}} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{\alpha} \\i_{\beta} \end{matrix} \right] \tag{6}$
类似于电流变换，电压变换和磁通变换也可以相应的变换
转子坐标系变换(Park变换)
- 转子坐标系变换(Park变换)是指: 把静止定子坐标系 $\alpha-\beta$ 坐标系转换为旋转的转子坐标系d-q坐标系
- d-q坐标系(d轴与转子磁极的轴线重合，q轴超前d轴90°)(d-q坐标系和转子同步旋转)
 
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由图可知：
$i_{d} = i_{\alpha}cos\varphi + i_{\beta}sin\varphi \tag{1}$
$i_{q} = -i_{\alpha}sin\varphi + i_{\beta}cos\varphi \tag{2}$
写成矩阵(Park变换)形式，如下：
$\left[ \begin{matrix} i_d \\i_q\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\varphi & sin\varphi\\-sin\varphi & cos\varphi \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{\alpha} \\i_{\beta} \end{matrix} \right] \tag{3}$
其对应的逆变换(Park逆变换)：
$\left[ \begin{matrix} i_{\alpha} \\i_{\beta} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\varphi & -sin\varphi\\sin\varphi & cos\varphi \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_d \\i_q\end{matrix} \right] \tag{4}$
类似于电流变换，电压变换和磁通变换也可以相应的变换
定向坐标系变换
- 定向坐标系变换是指: 把旋转的转子坐标系d-q坐标系同步为定向坐标系M-T坐标系
- M-T坐标系(M(d)轴与磁链方向重合，T(q)轴是超前M(d)轴90°的力矩轴)
- 转子磁场的定向控制时，M-T坐标系与d-q坐标重合
 
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矢量合成学习(SVPWM)

合成矢量控制原理
设中性点为O，逆变器(我们代码控制)输出的三相相电压为 $U_{AO},U_{BO},U_{CO}$ ,他们在空间上相差120°，因而可以定义三个电压矢量为 $U_{AO}(t),U_{BO}(t),U_{CO}(t)$ ,(实际上这是我们控制6个mos关开关的结果)

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按照空间矢量功率与三相瞬时功率不变的原则得： $k=\sqrt{\frac{2}{3}}且\gamma=\frac{2\pi}{3}$

设 $U_d$ 为相电压的有效值，f为电源频率则有：
$\left\{\begin{aligned} \theta = & 2{\pi}ft \\ U_{AO}(t) = & U_d\cos(\theta) \\ U_{BO}(t) = & U_d\cos(\theta - \frac{2\pi}{3}) \\ U_{CO}(t) = & U_d\cos(\theta - \frac{4\pi}{3}) \end{aligned}\right.$
设 $u_s$ 为三相电压合成的电压空间矢量，则有：
$U_s(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}[U_{AO}(t) + U_{BO}(t)e^{j\frac{2\pi}{3}} + U_{CO}(t)e^{j\frac{4\pi}{3}}]=\sqrt{\frac{2}{3}}U_de^{j\theta} \tag{1}$
这里的 $U_de^{j\theta}$ 代表的是把矢量 $U_d$ 旋转 $\theta$ 度角，具体可以参考链接：https://www.zhihu.com/question/41134540。因而合成的矢量 $U_s(t)$ 是一个旋转的空间矢量.
设直流地为O',则可证明合成电压矢量和参考点无关
$\left\{\begin{aligned} U_s(t) = & \sqrt{\frac{2}{3}}[U_{AO}(t) + U_{BO}(t)e^{j\frac{2\pi}{3}} + U_{CO}(t)e^{j\frac{4\pi}{3}}] = &\sqrt{\frac{2}{3}}[(U_{AO'}(t) - U_{OO'}(t)) \\ &+ (U_{BO'}(t)e^{j\frac{2\pi}{3}} - U_{OO'}(t)e^{j\frac{2\pi}{3}})\\ &+ (U_{CO'}(t)e^{j\frac{4\pi}{3}} - U_{OO'}(t)e^{j\frac{4\pi}{3}})]\\ =& \sqrt{\frac{2}{3}}[U_{AO'}(t) + U_{BO'}(t)e^{j\frac{2\pi}{3}} + U_{CO'}(t)e^{j\frac{4\pi}{3}}\\ -& U_{OO'}(t))(1+e^{j\frac{2\pi}{3}}+e^{j\frac{4\pi}{3}})]\\ =& \sqrt{\frac{2}{3}}[U_{AO'}(t) + U_{BO'}(t)e^{j\frac{2\pi}{3}} + U_{CO'}(t)e^{j\frac{4\pi}{3}}] \end{aligned}\right.$
这里的 $U_{AO'}(t),U_{BO'}(t),U_{CO'}(t)$ 是以直流地为参考的电压,因此我们可以任意定义参考点

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通过等效模型可以简单的换算出各个矢量的表示

以 $u_0(1,0,0)$ 为例，
A的上桥臂导通，下桥臂截止。
B的上桥臂截止，下桥臂导通。
C的上桥臂截止，下桥臂导通。

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$\left\{\begin{aligned} &U_{ab} = U_d, U_{bc} = 0, U_{ca} = -U_d\\ &U_{ao} - U_{bo} = U_d, U_{ao} - U_{co} = U_d\\ &U_{ao} + U_{bo} + U_{co} = 0 \end{aligned}\right.$

解得： $U_{ao} = \frac{2}{3}U_d, U_{bo} = -\frac{1}{3}U_d, U_{co} = -\frac{1}{3}U_d$
把结果代入合成的电压空间矢量(1)式得：
$U_s(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}[\frac{2}{3}U_d - \frac{1}{3}U_de^{j\frac{2\pi}{3}} - \frac{1}{3}U_de^{j\frac{4\pi}{3}}]=\sqrt{\frac{2}{3}}U_d$

电压	开关 $S_A$	开关 $S_B$	开关 $S_C$	$U_A$	$U_B$	$U_C$	合成 $U_S$
$u_0$	0	0	0	0	0	0	0
$u_1$	1	0	0	$\frac{2}{3}U_d$	$-\frac{1}{3}U_d$	$-\frac{1}{3}U_d$	$\sqrt{\frac{2}{3}}U_d$
$u_2$	1	1	0	$\frac{1}{3}U_d$	$\frac{1}{3}U_d$	$-\frac{2}{3}U_d$	$\sqrt{\frac{2}{3}}U_de^{j\frac{\pi}{3}}$
$u_3$	0	1	0	$-\frac{1}{3}U_d$	$-\frac{1}{3}U_d$	$-\frac{1}{3}U_d$	$\sqrt{\frac{2}{3}}U_de^{j\frac{2\pi}{3}}$
$u_4$	0	1	1	$-\frac{1}{3}U_d$	$\frac{1}{3}U_d$	$\frac{1}{3}U_d$	$\sqrt{\frac{2}{3}}U_de^{j\frac{3\pi}{3}}$
$u_5$	0	0	1	$-\frac{1}{3}U_d$	$-\frac{1}{3}U_d$	$\frac{2}{3}U_d$	$\sqrt{\frac{2}{3}}U_de^{j\frac{4\pi}{3}}$
$u_6$	1	0	1	$\frac{1}{3}U_d$	$-\frac{2}{3}U_d$	$\frac{1}{3}U_d$	$\sqrt{\frac{2}{3}}U_de^{j\frac{5\pi}{3}}$
$u_7$	1	1	1	0	0	0	0

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磁链矢量扇区判断

扇区号	落在该扇区条件	变化成条件	$\alpha$ 条件	$\beta$ 条件
扇区1	由 $0°<\arctan{\frac{U_{\beta}}{U_{\alpha}}} <60°$ ，得 $U_{\alpha}>0$ ， $U_{\beta}>0$ 且 $\frac{U_{\beta}}{U_{\alpha}}<\sqrt{3}$	$U_{\alpha}>0$ $U_{\beta}>0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}-\frac{1}{2}U_{\beta}>0$	$U_{\beta}>0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}>0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}-\frac{1}{2}U_{\beta}>0$	$U_{\beta}>0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}>0$ $(\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta})-U_{\beta})>0$
扇区2	由 $60°<\arctan{\frac{U_{\beta}}{U_{\alpha}}} <120°$ ，得 $U_{\beta}>0$ 且 $\frac{U_{\beta}}{\|U_{\alpha}\|}>\sqrt{3}$	$U_{\beta}>0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}-\frac{1}{2}U_{\beta}<0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}>0$	$U_{\beta}>0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}>0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}-\frac{1}{2}U_{\beta}<0$	$U_{\beta}>0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}>0$ $(\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta})-U_{\beta})<0$
扇区3	由 $120°<\arctan{\frac{U_{\beta}}{U_{\alpha}}} <180°$ ，得 $U_{\alpha}<0$ ， $U_{\beta}>0$ 且 $\frac{U_{\beta}}{-U_{\alpha}}<\sqrt{3}$	$U_{\alpha}<0$ $U_{\beta}>0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}<0$	$U_{\beta}>0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}<0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}-\frac{1}{2}U_{\beta}<0$	$U_{\beta}>0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}<0$ $(\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta})-U_{\beta})<0$
扇区4	由 $180°<\arctan{\frac{U_{\beta}}{U_{\alpha}}} <240°$ ，得 $U_{\alpha}<0$ ， $U_{\beta}<0$ 且 $\frac{-U_{\beta}}{-U_{\alpha}}<\sqrt{3}$	$U_{\alpha}<0$ $U_{\beta}<0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}-\frac{1}{2}U_{\beta}<0$	$U_{\beta}<0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}<0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}-\frac{1}{2}U_{\beta}<0$	$U_{\beta}<0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}<0$ $(\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta})-U_{\beta})<0$
扇区5	由 $240°<\arctan{\frac{U_{\beta}}{U_{\alpha}}} <300°$ ，得 $U_{\beta}<0$ 且 $\frac{-U_{\beta}}{\|U_{\alpha}\|}>\sqrt{3}$	$U_{\beta}<0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}-\frac{1}{2}U_{\beta}>0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}<0$	$U_{\beta}<0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}<0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}-\frac{1}{2}U_{\beta}>0$	$U_{\beta}<0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}<0$ $(\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta})-U_{\beta})>0$
扇区6	由 $300°<\arctan{\frac{U_{\beta}}{U_{\alpha}}} <360°$ ，得 $U_{\alpha}>0$ ， $U_{\beta}<0$ 且 $\frac{-U_{\beta}}{U_{\alpha}}<\sqrt{3}$	$U_{\alpha}>0$ $U_{\beta}<0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}>0$	$U_{\beta}<0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}>0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}-\frac{1}{2}U_{\beta}>0$	$U_{\beta}<0$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}>0$ $(\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta})-U_{\beta})>0$

$U_{\beta}>0$	$\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}>0$	$\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}-\frac{1}{2}U_{\beta}>0$ $(\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta})-U_{\beta}>0$	$\alpha$ 条件扇区号 $\beta$ 条件扇区号
A	B	C	N
1	1	1	扇区1
1	1	0	扇区2
1	0	0	扇区3
0	0	0	扇区4
0	0	1	扇区5
0	1	1	扇区6

若把ABC的值按照3bit进行分配，则可以做如下等式判断 $\alpha$ 条件 $N=4C+2B+A$

$\alpha$ 条件扇区	1	2	3	4	5	6
N	7	3	1	0	4	6

若把按照代码进行分析则可以做如下等式判断

X = $U_{\beta}$
Y = $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}$
Z = X - Y = $-\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}$
v->angle = (X > 0) + ((Y > X)<<1) + ((Z > X)<<2)

$U_{\beta}>0$	$\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}>U_{\beta}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}-\frac{1}{2}U_{\beta}>0$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}>U_{\beta}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}U_{\alpha}+\frac{1}{2}U_{\beta}<0$	代码扇区号
A	B	C	N
1	1	0	扇区1
1	0	0	扇区2
1	0	1	扇区3
0	0	1	扇区4
0	1	1	扇区5
0	1	0	扇区6

若把ABC的值按照3bit进行分配，则可以做如下等式判断 $\beta$ 条件 $N=4C+2B+A$

代码条件扇区	1	2	3	4	5	6
N	3	1	5	4	6	2

SVPWM主要控制方式分类
五段式SVPWM
- 五段式SVPWM有两种，一种是使用V0零矢量，一种是使用V7零矢量
- 为了方便电流采样，一般使用V0式的五段式SVPWM
 
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 七段式SVPWM
- 七段式SVPWM是，通过3段零矢量和4段相邻的非零矢量合成电压矢量，开头和结尾使用V0零矢量，中间使用V7零矢量。
- 非零矢量使电机磁通空间矢量发生运动，零矢量是电机空间矢量静止。
 
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SVPWM的时间控制
设 $u_s$ 为期望电压矢量;T 为采样周期; $T_x、T_y、T_0$ 分别为对应两个非零电压矢量 $u_x、u_y$ 和零电压矢量 $u_0$ 在一个采样周期的作用时间;其中 $u_0$ 包括了 $u_0$ 和 $u_7$ 两个零矢量。则时间控制式是: $\int_{0}^{T}u_sdt = \int_{0}^{T_x}u_xdt + \int_{T_x}^{T_y}u_ydt + \int_{T_{x+y}}^{T}u_0dt$
由于 $u_0$ 为零向量变形为： $u_sT = u_x T_x + u_y T_y + u_0 T_0 = u_sT = u_x T_x + u_y T_y$

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由图可知：
$\left\{\begin{aligned} &|U_{ref}|\cos\theta=\frac{T_4}{T_s}|U_4|+\frac{T_6}{T_s}|U_6|\cos\frac{\pi}{3}\\ &|U_{ref}|\sin\theta=\frac{T_6}{T_s}|U_6|\sin\frac{\pi}{3} \end{aligned}\right.$
又因为 $|U_4|=|U_6|=\sqrt{\frac{2}{3}}U_d$
$\left\{\begin{aligned} & m=\sqrt{3}\frac{|U_{ref}|}{U_d}\\ & T_4=m{T_s}\sin(\frac{\pi}{3}-\theta)\\ & T_6=m{T_s}\sin\theta\\ & T_7=T_s-T_4-T_6 \end{aligned}\right.$
式中m为SVPWM调制系数,(调制比=调制波基波峰值/载波基波峰值), $T_7$ 为零向量时间

位置估算

位置方程

静止坐标系下的电压方程：
$\left[ \begin{matrix} u_{s\alpha} \\u_{s\beta} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} R_s & 0\\0 & R_s \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{s\alpha} \\i_{s\beta}\end{matrix} \right] + \frac{d}{dt}\left[ \begin{matrix} {\Psi}_{s\alpha} \\{\Psi}_{s\beta} \end{matrix} \right]\tag{1}$
$\left[ \begin{matrix} {\Psi}_{s\alpha} \\{\Psi}_{s\beta} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} L_s & 0\\0 & L_s \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{s\alpha} \\i_{s\beta}\end{matrix} \right] + \frac{d}{dt}\left[ \begin{matrix} {\Psi}_{f\alpha} \\{\Psi}_{f\beta} \end{matrix} \right]\tag{2}$
${\Psi}_{s\alpha} ,{\Psi}_{s\beta}$ 为定子磁链
${\Psi}_{f\alpha} ,{\Psi}_{f\beta}$ 为转子磁链（旋转磁链）
$L_si_{s\alpha} 和 L_si_{s\beta}$ 为电感电势
反正切法-位置估算
- 对正交的旋转磁链 ${\Psi}_{f\alpha} ,{\Psi}_{f\beta}$ 进行反切计算，算出转子角度
- 对角度进行差分，再进行一阶低通滤波计算速度
角度位置计算： $\theta = \arctan\frac{{\Psi}_{f\beta}}{{\Psi}_{f\alpha}}$
速度估算： $\omega(k) = \frac{\theta(k)-\theta(k-1)}{T}$$$$\omega(k) = \omega(k)\frac{1}{1+\tau_ss}$
PLL锁相环法-位置估算

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<center>PLL锁相环自动控制原理</center>
PLL锁相环控制优势：
- 对高频噪声有滤波作用
- 可以直接计算出速度
- 角度的突变小(速度积分)

坐标变换对应的参数方程

异步电机的三相原始模型相当复杂，通过坐标变换可以简化数学模型，便于分析和计算。按照从特殊到一般，首先推导静止两相正交坐标系中的数学模型，然后推广到旋转正交坐标系中。由于运动方程不随坐标变换而变化，估仅讨论电压方程、磁链方程和转矩方程。
下面讨论中，下标s表示定子，下标r表示转子

坐标系原始方程
对定子绕组和转子绕组进行Clarke变换(3/2变换)，定子绕组变换后是静止的 $\alpha\beta$ 坐标，转子绕组变换后是旋转坐标 $\alpha'\beta'$ ，得出三相到两相变换的原始方程

电压方程
$\left[ \begin{matrix} u_{s\alpha} \\u_{s\beta} \\u_{r\alpha'} \\u_{r\beta'}\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} R_s & 0 & 0 & 0 \\ 0 & R_s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R_r & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R_r \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{s\alpha} \\i_{s\beta} \\i_{r\alpha'} \\i_{r\beta'} \end{matrix} \right] +\frac{d}{dt}\left[ \begin{matrix} \Psi_{s\alpha} \\\Psi_{s\beta} \\\Psi_{r\alpha'} \\\Psi_{r\beta'} \end{matrix} \right] \tag{A-1}$
磁链方程
$\left[ \begin{matrix} \Psi_{s\alpha} \\\Psi_{s\beta} \\\Psi_{r\alpha'} \\\Psi_{r\beta'} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} L_s & 0 & L_m\cos\theta & -L_m\sin\theta \\ 0 & L_s & L_m\sin\theta & L_m\cos\theta \\ L_m\cos\theta & L_m\sin\theta & L_r & 0 \\ -L_m\sin\theta & L_m\cos\theta & 0 & L_r \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{s\alpha} \\i_{s\beta} \\i_{r\alpha'} \\i_{r\beta'} \end{matrix} \right] \tag{A-2}$
转矩方程
$T_e = -n_p L_m [( i_{s\alpha}i_{r\alpha'} + i_{s\beta}i_{r\beta'} )\sin\theta + ( i_{s\alpha}i_{r\beta'} - i_{s\beta}i_{r\alpha'} )\cos\theta] \tag{A-3}$
$L_m$ 是定子和转子同轴等效绕组间的互感, $L_m=\frac{3}{2}L_{ms}$
$L_s$ 是定子等效两相绕组间的自感, $L_s=\frac{3}{2}L_{ms}+L_{is}=L_m+L_{is}$
$L_m$ 是转子等效两相绕组间的自感, $L_r=\frac{3}{2}L_{ms}+L_{ir}=L_m+L_{ir}$
变换到静止坐标系方程

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将通过了Clarke变换(3/2变换)的坐标，再进一步变换到同一个静止坐标系上，如图6-7吧，则有：

由图可知，从旋转坐标变换到静止坐标的变换矩阵为：
$C_{2r/2s}(\theta) = \left[ \begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta \\sin\theta & \cos\theta \end{matrix} \right] \tag{A-4}$
电压方程
$\left[ \begin{matrix} u_{s\alpha} \\u_{s\beta} \\u_{r\alpha} \\u_{r\beta}\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} R_s & 0 & 0 & 0 \\ 0 & R_s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R_r & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R_r \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{s\alpha} \\i_{s\beta} \\i_{r\alpha} \\i_{r\beta} \end{matrix} \right] +\frac{d}{dt}\left[ \begin{matrix} \Psi_{s\alpha} \\\Psi_{s\beta} \\\Psi_{r\alpha} \\\Psi_{r\beta} \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 0 \\0 \\\omega_r \Psi_{r\beta} \\-\omega_r \Psi_{r\alpha} \end{matrix} \right] \tag{A-5}$
磁链方程
$\left[ \begin{matrix} \Psi_{s\alpha} \\\Psi_{s\beta} \\\Psi_{r\alpha} \\\Psi_{r\beta} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} L_s & 0 & L_m & 0 \\ 0 & L_s & 0 & L_m \\ L_m & 0 & L_r & 0 \\ 0 & L_m & 0 & L_r \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{s\alpha} \\i_{s\beta} \\i_{r\alpha} \\i_{r\beta} \end{matrix} \right] \tag{A-6}$
转矩方程
$T_e = n_p L_m ( i_{s\beta}i_{r\alpha} - i_{s\alpha}i_{r\beta} ) \tag{A-7}$
$L_m$ 是定子和转子同轴等效绕组间的互感, $L_m=\frac{3}{2}L_{ms}$
$L_s$ 是定子等效两相绕组间的自感, $L_s=\frac{3}{2}L_{ms}+L_{is}=L_m+L_{is}$
$L_m$ 是转子等效两相绕组间的自感, $L_r=\frac{3}{2}L_{ms}+L_{ir}=L_m+L_{ir}$

旋转变换改变了定子和转子绕组间的耦合关系，将相对运动的定子和转子绕组用相对静止等效绕组来代替，从而消除了定子和转子绕组间夹角 $\theta$ 对磁链和转矩的影响。旋转变换的优点在于，将非线性可变参数的磁链方程转化为线性定常的方程，但却加剧了电压方程中的非线性耦合程度，将矛盾从磁链方程转移到电压方程中，并没有改变对象的非线性耦合性质。
变换到旋转坐标系方程
下面把一般情况推广到普遍情况，把坐标变换到旋转的d-q坐标系。

image.png

定子的变换矩阵为：
$C_{2s/2dq}(\varphi) = \left[ \begin{matrix} \cos\varphi & \sin\varphi \\-\sin\varphi & \cos\varphi \end{matrix} \right] \tag{A-8}$
转子的变换矩阵为：
$C_{2r/2dq}(\varphi-\theta) = \left[ \begin{matrix} \cos(\varphi-\theta) & \sin(\varphi-\theta) \\-\sin(\varphi-\theta) & \cos(\varphi-\theta) \end{matrix} \right] \tag{A-9}$
电压方程
$\left[ \begin{matrix} u_{sd} \\u_{sq} \\u_{rd} \\u_{rq}\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} R_s & 0 & 0 & 0 \\ 0 & R_s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R_r & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R_r \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{sd} \\i_{sq} \\i_{rd} \\i_{rq} \end{matrix} \right] +\frac{d}{dt}\left[ \begin{matrix} \Psi_{sd} \\\Psi_{sq} \\\Psi_{rd} \\\Psi_{rq} \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} -\omega_1 \Psi_{sq} \\\omega_1 \Psi_{sd} \\-(\omega_1-\omega) \Psi_{rq} \\(\omega_1-\omega) \Psi_{rd} \end{matrix} \right] \tag{A-10}$
磁链方程
$\left[ \begin{matrix} \Psi_{sd} \\\Psi_{sq} \\\Psi_{rd} \\\Psi_{rq} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} L_s & 0 & L_m & 0 \\ 0 & L_s & 0 & L_m \\ L_m & 0 & L_r & 0 \\ 0 & L_m & 0 & L_r \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_{sd} \\i_{sq} \\i_{rd} \\i_{rq} \end{matrix} \right] \tag{A-11}$
转矩方程
$T_e = n_p L_m ( i_{sq}i_{rd} - i_{sd}i_{rq} ) \tag{A-12}$
$L_m$ 是定子和转子同轴等效绕组间的互感, $L_m=\frac{3}{2}L_{ms}$
$L_s$ 是定子等效两相绕组间的自感, $L_s=\frac{3}{2}L_{ms}+L_{is}=L_m+L_{is}$
$L_m$ 是转子等效两相绕组间的自感, $L_r=\frac{3}{2}L_{ms}+L_{ir}=L_m+L_{ir}$

旋转变换是用旋转的绕组代替了原来静止的定子绕组，并使等效的转子绕组与等效的定子绕组重合，且保持严格同步，等效后定子和转子绕组之间不存在相对运动，故旋转正交坐标系中的磁链方程和转矩方程与静止两相正交坐标系作用相同，仅下标发生变化。两相旋转正交变换的正交坐标系的电压方程中旋转电动势非线性耦合更为严重，这是因为不仅对转子绕组进行了旋转变换，同时对定子绕组也进行了相应的旋转变换。
从表面上看，旋转正交坐标系(dq坐标系)中的数学模型还不如静止的两相正交坐标系( $\alpha\beta$ 坐标系)中的简单，实际上旋转正交坐标系的优点，在于增加了一个输入量 $\omega_1$ 提高了系统的控制自由度，磁场定向控制就是通过控制 $\omega_1$ 实现的。旋转速度任意的正交坐标系无实际使用意义，常用的是同步旋转坐标系，将绕组中的交流量变为直流量，来模拟直流电机进行控制。如果令旋转正交坐标系的旋转速度 $\omega_1=0$ ，则旋转正交坐标系就变为了静止两相正交左边线。所以说，静止两相正交坐标系是旋转两相正交坐标系的特列。

正交坐标系的状态方程

旋转正交坐标系上的异步电机具有四阶电压方程和一阶运动方程，一次需要选取五个状态量，可选的状态量共有九个，把他们分为下面五组：①转速 $\omega$ ;②定子电流 $i_{sd}和i_{sq}$ ;③转子电流 $i_{rd}和i_{rq}$ ;定子磁链 $\psi_{sd}和\psi_{sq}$ ;转子磁链 $\psi_{rd}和\psi_{rq}$ ;
转速是必须选取的输入量，其余四组可以任意选取两组，定子电流可以直接检测，应当选为状态量。剩下的三组均不可直接检测或检测十分困难，考虑到磁链对电机运行的重要性，可以在定子磁链和转子磁链中任选一组。

以速度\定子电流\转子磁通为输入量的状态方程
1. qt坐标系的状态方程
 
 选取输入状态量: $X=\left[ \begin{matrix} \omega & \psi_{rd} & \psi_{rq} & i_{sd} & i_{sq} \end{matrix} \right]^T$
 
 输入变量： $U =\left[ \begin{matrix} u_{sd} & u_{sq} & \omega_1 & T_L \end{matrix} \right]^T$
 
 输出变量： $Y=\left[ \begin{matrix} \omega & \psi_{r} \end{matrix} \right]^T$
 
 根据dq坐标系的磁链方程(A-11)，可得：
 $\left\{\begin{aligned} & \psi_{sd}=L_s i_{sd} + L_m i_{rd}\\ & \psi_{sq}=L_s i_{sq} + L_m i_{rq}\\ & \psi_{rd}=L_m i_{sd} + L_r i_{rd}\\ & \psi_{rq}=L_m i_{sq} + L_r i_{rq} \end{aligned}\right. \tag{1-1}$
 联合方程，可得：
 $\left\{\begin{aligned} & i_{rd} = \frac{1}{L_r}(\psi_{rd} - L_m i_{sd})\\ & i_{rq} = \frac{1}{L_r}(\psi_{rq} - L_m i_{sq})\\ & \psi_{sd} = \sigma L_s i_{rd} + \frac{L_m}{L_r}\psi_{rd}\\ & \psi_{sq} = \sigma L_s i_{rq} + \frac{L_m}{L_r}\psi_{rq} \end{aligned}\right. \tag{1-2}$
 $\sigma$ 是电机漏磁系数 $\sigma = 1 - \frac{L_m^2}{L_s L_r}$ .
 
 根据dq坐标系的电压方程(A-10)，可得：
 $\left\{\begin{aligned} & \frac{d \psi_{sd}}{dt}=-R_s i_{sd} + \omega_1 \psi_{sq} + u_{sd}\\ & \frac{d \psi_{sq}}{dt}=-R_s i_{sq} - \omega_1 \psi_{sd} + u_{sq}\\ & \frac{d \psi_{rd}}{dt}=-R_r i_{rd} + (\omega_1 - \omega) \psi_{rq} + u_{rd}\\ & \frac{d \psi_{rq}}{dt}=-R_r i_{rq} + (\omega_1 - \omega) \psi_{rd} + u_{rq} \end{aligned}\right. \tag{1-3}$
 考虑到笼型转子内部是短路的，则 $u_{rd}=u_{rq}=0$ ,于是有：
 $\left\{\begin{aligned} & \frac{d \psi_{sd}}{dt} = -R_s i_{sd} + \omega_1 \psi_{sq} \\ & \frac{d \psi_{sq}}{dt} = -R_s i_{sq} - \omega_1 \psi_{sd} \\ & \frac{d \psi_{rd}}{dt} = -R_r i_{rd} + (\omega_1 - \omega) \psi_{rq}\\ & \frac{d \psi_{rq}}{dt} = -R_r i_{rq} + (\omega_1 - \omega) \psi_{rd} \end{aligned}\right. \tag{1-4}$
 
 将方程(1-2)代入qd坐标系的力矩方程(A-12)，可得：
 $\left\{\begin{aligned} T_e &= \frac{n_p L_m}{L_r}(i_{sq} \psi_{rd} - L_m i_{sd} i_{sq} - i_{sd} \psi_{rq} + L_m i_{sd} i_{sq}) \\ &= \frac{n_p L_m}{L_r}(i_{sq} \psi_{rd} - i_{sd} \psi_{rq}) \end{aligned}\right. \tag{1-5}$
 
 运动控制系统的运动方程为：
 $\frac{J d\omega}{n_p dt} = T_e - T_L \tag{1-6}$
 
 将(1-2)(1-4)(1-5)(1-6)联合整理得：
 $\left\{\begin{aligned} & \frac{d \omega}{dt} = \frac{n_p^2 L_m}{JL_r}(i_{sq} \psi_{rd} - i_{sd} \psi_{rq}) - \frac{n_p}{J}T_L \\ & \frac{d \psi_{rd}}{dt} = -\frac{1}{T_r}\psi_{rd} +(\omega_1 - \omega)\psi_{rq} + \frac{L_m}{T_r}i_{sd} \\ & \frac{d \psi_{rq}}{dt} = -\frac{1}{T_r}\psi_{rq} -(\omega_1 - \omega)\psi_{rd} + \frac{L_m}{T_r}i_{sq} \\ & \frac{d \psi_{sd}}{dt} = \frac{L_m}{\sigma L_s L_r T_r}\psi_{rd} + \frac{L_m}{\sigma L_s L_r }\omega \psi_{rq} - \frac{R_s L_r^2 + R_r L_m^2}{\sigma L_s L_r^2}i_{sd} +\omega_1i_{sq} + \frac{u_{sd}}{\sigma L_s} \\ & \frac{d \psi_{sq}}{dt} = \frac{L_m}{\sigma L_s L_r T_r}\psi_{rq} - \frac{L_m}{\sigma L_s L_r }\omega \psi_{rd} - \frac{R_s L_r^2 + R_r L_m^2}{\sigma L_s L_r^2}i_{sq} -\omega_1i_{sd} + \frac{u_{sq}}{\sigma L_s} \end{aligned}\right. \tag{1-7}$
 $T_r$ 是转子电磁时间常数 $T_r = \frac{L_r}{R_r}$ .
 
 输出变量： $Y=\left[ \begin{matrix} \omega & \sqrt{\psi_{rd}^2 + \psi_{rq}^2} \end{matrix} \right]^T \tag{1-8}$
 转换为自动控制原理图如下：
 
 image.png
2. $\alpha \beta$ 坐标系的状态方程
 
 若令 $\omega_1 = 0$ ,则可以使得qt坐标系变换为 $\alpha \beta$ 坐标系
 可得 $\alpha \beta$ 坐标系下的状态方程为：
 $\left\{\begin{aligned} & \frac{d \omega}{dt} = \frac{n_p^2 L_m}{JL_r}(i_{sq} \psi_{rd} - i_{sd} \psi_{rq}) - \frac{n_p}{J}T_L \\ & \frac{d \psi_{rd}}{dt} = -\frac{1}{T_r}\psi_{rd}- \omega\psi_{rq} + \frac{L_m}{T_r}i_{sd} \\ & \frac{d \psi_{rq}}{dt} = -\frac{1}{T_r}\psi_{rq} + \omega\psi_{rd} + \frac{L_m}{T_r}i_{sq} \\ & \frac{d \psi_{sd}}{dt} = \frac{L_m}{\sigma L_s L_r T_r}\psi_{rd} + \frac{L_m}{\sigma L_s L_r }\omega \psi_{rq} - \frac{R_s L_r^2 + R_r L_m^2}{\sigma L_s L_r^2}i_{sd} + \frac{u_{sd}}{\sigma L_s} \\ & \frac{d \psi_{sq}}{dt} = \frac{L_m}{\sigma L_s L_r T_r}\psi_{rq} - \frac{L_m}{\sigma L_s L_r }\omega \psi_{rd} - \frac{R_s L_r^2 + R_r L_m^2}{\sigma L_s L_r^2}i_{sq} + \frac{u_{sq}}{\sigma L_s} \end{aligned}\right. \tag{1-9}$
 $T_r$ 是转子电磁时间常数 $T_r = \frac{L_r}{R_r}$ .
 
 选取输入状态量: $X=\left[ \begin{matrix} \omega & \psi_{r\alpha} & \psi_{r\beta} & i_{s\alpha} & i_{s\beta} \end{matrix} \right]^T$
 
 输入变量： $U =\left[ \begin{matrix} u_{s\alpha} & u_{s\beta} & T_L \end{matrix} \right]^T$
 
 电磁转矩： $T_e = \frac{n_p L_m}{L_r}(i_{s\beta} \psi_{r\alpha} - i_{s\alpha} \psi_{r\beta})$
 
 输出变量： $Y=\left[ \begin{matrix} \omega & \sqrt{\psi_{r\alpha}^2 + \psi_{r\beta}^2} \end{matrix} \right]^T \tag{1-10}$
 转换为自动控制原理图如下：
 
 image.png
以速度\定子电流\定子磁通为输入量的状态方程
1. qt坐标系的状态方程
 
 选取输入状态量: $X=\left[ \begin{matrix} \omega & \psi_{sd} & \psi_{sq} & i_{sd} & i_{sq} \end{matrix} \right]^T$
 
 输入变量： $U =\left[ \begin{matrix} u_{sd} & u_{sq} & \omega_1 & T_L \end{matrix} \right]^T$
 
 输出变量： $Y=\left[ \begin{matrix} \omega & \psi_{s} \end{matrix} \right]^T$
 
 同理(1-2)得：
 $\left\{\begin{aligned} & i_{rd} = \frac{1}{L_m}(\psi_{sd} - L_s i_{sd})\\ & i_{rq} = \frac{1}{L_m}(\psi_{sq} - L_s i_{sq})\\ & \psi_{rd} = -\sigma \frac{L_r L_s}{L_m} i_{sd} + \frac{L_r}{L_m} \psi_{sd}\\ & \psi_{rq} = -\sigma \frac{L_r L_s}{L_m} i_{sq} + \frac{L_r}{L_m} \psi_{sq} \end{aligned}\right. \tag{2-2}$
 
 同理(1-5)得：
 $\left\{\begin{aligned} T_e &= n_p (i_{sq} \psi_{sd} - L_s i_{sd} i_{sq} -i_{sd} \psi_{sq} + L_s i_{sq} i_{sd})\\ &=n_p (i_{sq} \psi_{sd} - i_{sd} \psi_{sq}) \end{aligned}\right. \tag{2-5}$
 
 同理(1-7)得：
 $\left\{\begin{aligned} & \frac{d \omega}{dt} = \frac{n_p^2 }{J}(i_{sq} \psi_{sd} - i_{sd} \psi_{sq}) - \frac{n_p}{J}T_L \\ & \frac{d \psi_{sd}}{dt} = -R_s i_{sd} +\omega_1 \psi_{sq} + u_{sd} \\ & \frac{d \psi_{sq}}{dt} = -R_s i_{sq} -\omega_1 \psi_{sd} + u_{sq} \\ & \frac{d i_{sd}}{dt} = \frac{1}{\sigma L_s T_r}\psi_{sd} + \frac{1}{\sigma L_s }\omega \psi_{sq} - \frac{R_s L_r + R_r L_s}{\sigma L_s L_r}i_{sd} +(\omega_1 - \omega) i_{sq} + \frac{u_{sd}}{\sigma L_s} \\ & \frac{d i_{sq}}{dt} = \frac{1}{\sigma L_s T_r}\psi_{sq} - \frac{1}{\sigma L_s }\omega \psi_{sd} - \frac{R_s L_r + R_r L_s}{\sigma L_s L_r}i_{sq} -(\omega_1 - \omega) i_{sd} + \frac{u_{sq}}{\sigma L_s} \end{aligned}\right. \tag{2-7}$
 $T_r$ 是转子电磁时间常数 $T_r = \frac{L_r}{R_r}$ .
 
 同(1-8)输出变量： $Y=\left[ \begin{matrix} \omega & \sqrt{\psi_{sd}^2 + \psi_{sq}^2} \end{matrix} \right]^T \tag{2-8}$
 转换为自动控制原理图如下：
 
 image.png
2. $\alpha \beta$ 坐标系的状态方程
 
 若令 $\omega_1 = 0$ ,则可以使得qt坐标系变换为 $\alpha \beta$ 坐标系
 可得 $\alpha \beta$ 坐标系下的状态方程为：
 $\left\{\begin{aligned} & \frac{d \omega}{dt} = \frac{n_p^2 }{J}(i_{sq} \psi_{sd} - i_{sd} \psi_{sq}) - \frac{n_p}{J}T_L \\ & \frac{d \psi_{sd}}{dt} = -R_s i_{sd} + u_{sd} \\ & \frac{d \psi_{sq}}{dt} = -R_s i_{sq} + u_{sq} \\ & \frac{d i_{sd}}{dt} = \frac{1}{\sigma L_s T_r}\psi_{sd} + \frac{1}{\sigma L_s }\omega \psi_{sq} - \frac{R_s L_r + R_r L_s}{\sigma L_s L_r}i_{sd} +\omega i_{sq} + \frac{u_{sd}}{\sigma L_s} \\ & \frac{d i_{sq}}{dt} = \frac{1}{\sigma L_s T_r}\psi_{sq} - \frac{1}{\sigma L_s }\omega \psi_{sd} - \frac{R_s L_r + R_r L_s}{\sigma L_s L_r}i_{sq} -\omega i_{sd} + \frac{u_{sq}}{\sigma L_s} \end{aligned}\right. \tag{2-7}$
 $T_r$ 是转子电磁时间常数 $T_r = \frac{L_r}{R_r}$ .
 
 选取输入状态量: $X=\left[ \begin{matrix} \omega & \psi_{s\alpha} & \psi_{s\beta} & i_{s\alpha} & i_{s\beta} \end{matrix} \right]^T$
 
 输入变量： $U =\left[ \begin{matrix} u_{s\alpha} & u_{s\beta} & T_L \end{matrix} \right]^T$
 
 电磁转矩： $T_e = n_p(i_{s\beta} \psi_{s\alpha} - i_{s\alpha} \psi_{s\beta})$
 
 输出变量： $Y=\left[ \begin{matrix} \omega & \sqrt{\psi_{s\alpha}^2 + \psi_{s\beta}^2} \end{matrix} \right]^T \tag{2-8}$
 转换为自动控制原理图如下：
 
 image.png

转子磁链计算

按转子磁链定向的矢量控制系统的关键是 $\psi_r$ 的准确定向，也就是说需要获得转子磁链矢量的空间位置。除此之外，在构成转子磁链反馈以及转矩控制时，转子磁链的幅值也是需要控制的。根据转子磁链的实际值进行的控制方法，称作直接定向控制。
转子磁链的直接检测比较困难，现在多采用检测容易测得的电压、电流或转速等信号，按模型计算的方法进行换算，实时的计算出磁链的幅值与空间位置。转子磁链模型可以从电机的数学模型中推导出来，也可以利用状态观察器或者状态估计理论得到闭环的观测模型。在计算模型中，由于实测信号不同，可以分为电流模型和电压模型两种。

在 $\alpha \beta$ 坐标系上计算转子磁链的电流模型

利用 $i_\alpha i_\beta$ 计算转子磁链在 $\alpha 、\beta$ 轴上的分量
$\left\{\begin{aligned} & \frac{d \psi_{r\alpha}}{dt} = -\frac{1}{T_r}\psi_{r\alpha} - \omega\psi_ {r\beta} + \frac{L_m}{T_r}i_{s\alpha} \\ & \frac{d \psi_{r\beta}}{dt} = -\frac{1}{T_r}\psi_{r\beta} + \omega\psi_ {r\alpha} + \frac{L_m}{T_r}i_{s\beta} \end{aligned}\right.$
$T_r$ 是转子电磁时间常数 $T_r = \frac{L_r}{R_r}$ .
或者表示为：
$\left\{\begin{aligned} & \psi_{r\alpha} = \frac{1}{T_r s+1} (L_m i_{s\alpha} - \omega T_r \psi_ {r\beta}) \\ & \psi_{r\beta} = \frac{1}{T_r s+1} (L_m i_{s\beta} - \omega T_r \psi_ {r\alpha}) \end{aligned}\right.$
然后，通过把直角坐标变换为极坐标，就可以得到转子磁链矢量的幅值 $\psi_r$ 和空间位置 $\varPhi$ ，考虑到矢量变换中实际使用的是 $\varPhi$ 的正弦和余弦函数，故可以采用变换式：
$\left\{\begin{aligned} & \psi_{r} = \sqrt{\psi_{r\alpha}^2 + \psi_{r\beta}^2} \\ & \sin\psi = \frac{\psi_{r\beta}}{\psi_{r}}\\ & \cos\psi = \frac{\psi_{r\alpha}}{\psi_{r}} \end{aligned}\right.$
转换为自动控制原理图如下：

image.png

在 $\alpha \beta$ 坐标系按照电流模型计算转子磁链时，由于电压、电流和磁链均为正玄量，程序计算量大、复杂，而且对计算步长敏感
在MT坐标系上计算转子磁链的电流模型

根据mt坐标系计算可得：
$\left\{\begin{aligned} & \frac{d \psi_r}{dt} = -\frac{1}{T_r} \psi_r + \frac{L_m}{T_r} i_sm \\ & \omega_1 = \omega + \frac{L_m}{T_r \psi_r}i_{st} \end{aligned}\right.$

image.png

可知比起 $\alpha \beta$ 坐标系上计算转子磁链的电流模型，mt的计算量要小些，步长可以适当大些。但是在计算前需要先将电压电流和磁链变换到mt坐标系，定向不准，导致 $\omega_1$ 计算不准，而 $\omega_1$ 又影响下一步。

不管是 $\alpha \beta$ 坐标系还是mt坐标系下计算磁链的电磁模型都需要实测电流和转速信号，不论转速高低都可以适用，但都受到电机参数变化的影响。例如温度升高、频率变化等会影响转子电阻，而饱和程度会影响电感。这些影响将导致磁链幅值和位置信号失真，必然使得闭环磁链系统性能下降，这也是电流模型的不足之处
在 $\alpha \beta$ 坐标系上计算转子磁链的电压模型
根据电压方程中感应电动势等于磁链变化率的关系，取电动势的积分就可以得到磁链的模型叫电压模型

电压方程：
$\left\{\begin{aligned} & \frac{d \psi_{s\alpha}}{dt} = -R_s i_{s\alpha} + u_{s\alpha} \\ & \frac{d \psi_{s\beta}}{dt} = -R_s i_{s\beta} + u_{s\beta} \end{aligned}\right. \tag{2-7}$

磁链方程：
$\left\{\begin{aligned} & \psi_{s\alpha}=L_s i_{s\alpha} + L_m i_{r\alpha}\\ & \psi_{s\beta}=L_s i_{s\beta} + L_m i_{r\beta}\\ & \psi_{r\alpha}=L_m i_{s\alpha} + L_r i_{r\alpha}\\ & \psi_{r\beta}=L_m i_{s\beta} + L_r i_{r\beta} \end{aligned}\right.$
联合方程，可得：
$\left\{\begin{aligned} & i_{r\alpha} = \frac{1}{L_r}(\psi_{r\alpha} - L_m i_{s\alpha})\\ & i_{r\beta} = \frac{1}{L_r}(\psi_{r\beta} - L_m i_{s\beta})\\ & \psi_{s\alpha} = \sigma L_s i_{r\alpha} + \frac{L_m}{L_r}\psi_{r\alpha}\\ & \psi_{s\beta} = \sigma L_s i_{r\beta} + \frac{L_m}{L_r}\psi_{r\beta} \end{aligned}\right. \tag{1-2}$

电压模型方程：
$\left\{\begin{aligned} & \psi_{r\alpha} = \frac{L_r}{L_m}[\int(u_{s\alpha} - R_s i_{s\alpha})dt - \sigma L_s i_{s\alpha}) \\ & \psi_{r\beta} = \frac{L_r}{L_m}[\int(u_{s\beta} - R_s i_{s\beta})dt - \sigma L_s i_{s\beta}) \end{aligned}\right. \tag{2-7}$
其对应的控制框图如下

image.png

根据实测的电压电流信号，计算定子磁链，然后再计算转子磁链。电压模型不需要转速信号，且算法与转子电阻无关，只与定子电阻有关，而定子电阻相对容易测得。和电流模型相比，电压模型受电机参数变化的影响较小，且算法简单，更容易应用，但是由于他包含积分项，积分的初始值和累计误差都影响计算结果，在低速时，定子电阻压降变化影响较大。
比较起来电压模型适用于中高速范围，而电流模型能适应低速。有事为了提高准确度，把两种模型结合起来，在低速时采用电流模型，在中高速时采用电压模型，可以提高整个运行范围中的转子磁链计算准确度

最后编辑于：2019.08.24 11:04:41

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文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
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城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
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双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
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万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
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护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
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白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
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活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
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日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
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男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
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一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
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情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
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代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
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