复变函数积分

本篇记录一下复变函数积分（沿指定闭曲线）的求解方法，主要为了串联一下级数，留数和积分的关系，方便理解和记忆。

1. 级数

在此，不再记录级数的基本概念，直接从泰勒级数开始。

泰勒级数：公式 $f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_0)^n$ 称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 的泰勒展开式，它右端的级数称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 的泰勒级数。

如果 $f(z)$ 在 $z_0$ 解析，那么使 $f(z)$ 在 $z_0$ 的泰勒展开式成立的圆域的半径 $R$ 就等于从 $z_0$ 到 $f(z)$ 的距 $z_0$ 最近的一个奇点 $\alpha$ 之间的距离，即 $R=|\alpha - z_0|$ 。

为了跨过奇点，使得解析函数的级数表示方法适用范围更广，由此产生了洛朗级数。

洛朗级数：公式 $f(z)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n(z-z_0)^n$ 称为 $f(z)$ 在以 $z_0$ 为中心的圆环域： $R_1<|z-z_0|<R_2$ 内的洛朗展开式，它右端的级数称为 $f(z)$ 在此圆环域内的洛朗级数。

洛朗级数是泰勒级数的延拓版，其与泰勒级数形式上的一个主要区别就是含有负幂次项。系数 $c_n$ 有如下计算公式，其中 $C$ 为圆环域内绕 $z_0$ 的任一正向简单的闭曲线。
$c_n=\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \mathrm d \zeta , \quad (n=0,\pm 1,\pm 2, \cdots)$

但以上公式并不常用来计算函数的洛朗展开式，主要是采用间接展开法。因此，记忆一些常见的函数的展开式就很是有必要了。

2. 留数

对于上面计算 $c_n$ 的公式，我们令 $n=-1$ ，有 $c_{-1}=\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_C f(z)\mathrm dz$ ，此处的 $c_{-1}$ 即为留数，记作 $\mathrm{Res}[f(z),z_0]=c_{-1}$ 。（实际是对 $f(z)$ 的洛朗展开式进行逐项积分，发现除了 $c_{-1}(z-z_0)^{-1}$ 一项外，其余均为 $0$ ）。

留数定理：设函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内除有限个孤立奇点 $z_1,z_2,\cdots,z_n$ 外处处解析， $C$ 是 $D$ 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么
$\oint\limits_C f(z) \mathrm dz=2\pi i \sum_{k=1}^n \mathrm{Res}[f(z),z_k]$
利用这个定理，求沿封闭曲线 $C$ 的积分，就转化为求被积函数在 $C$ 中的各孤立奇点处的留数。

定理二：如果函数 $f(z)$ 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么 $f(z)$ 在所有各奇点（包括 $\infty$ 点）的留数的总和必等于零。

3. 积分

有了以上内容，我们可得：求沿指定闭曲线的积分，可以有如下方法。

1)

直接用留数定理：求区域内各孤立奇点的留数，即易得积分值。

2)

用留数定理加定理二：如果区域内有某点处的留数计算十分繁琐，可考虑同时使用定理二，转为求区域外所有奇点的留数。

因此，在求积分时，需要注意如何更简单的得到奇点的留数。

4. 留数的求法

1)

直接洛朗展开，然后找到 $c_{-1}$ 。

2)

如果 $z_0$ 为 $f(z)$ 的一级极点，那么
$\mathrm{Res}[f(z),z_0]=\lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$
如果 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 级极点，那么
$\mathrm{Res}[f(z), z_0]=\frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{\mathrm d^{m-1}}{\mathrm dz^{m-1}} \{ (z-z_0)^m f(z) \}$

3)

在无穷远处的留数，除了以下直接洛朗展开求得外，
$\mathrm{Res}[f(z), \infty]=-c_{-1}$
还可以用公式
$\mathrm{Res}[f(z), \infty] = - \mathrm{Res}[f(\frac{1}{z}) \cdot \frac{1}{z^2}, 0]$

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1. 级数

2. 留数

3. 积分

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4. 留数的求法

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