过拟合、欠拟合及其解决方案
模型复杂度
为了解释模型复杂度，我们以多项式函数拟合为例。给定一个由标量数据特征和对应的标量标签
组成的训练数据集，多项式函数拟合的目标是找一个
阶多项式函数
来近似 。在上式中，
是模型的权重参数，
是偏差参数。与线性回归相同，多项式函数拟合也使用平方损失函数。特别地，一阶多项式函数拟合又叫线性函数拟合。
给定训练数据集，模型复杂度和误差之间的关系：
权重衰减
方法
权重衰减等价于 范数正则化（regularization）。正则化通过为模型损失函数添加惩罚项使学出的模型参数值较小，是应对过拟合的常用手段。
L2 范数正则化（regularization）
范数正则化在模型原损失函数基础上添加
范数惩罚项，从而得到训练所需要最小化的函数。
范数惩罚项指的是模型权重参数每个元素的平方和与一个正的常数的乘积。以线性回归中的线性回归损失函数为例
其中是权重参数，
是偏差参数，样本
的输入为
，标签为
，样本数为
。将权重参数用向量
表示，带有
范数惩罚项的新损失函数为
其中超参数。当权重参数均为0时，惩罚项最小。当
较大时，惩罚项在损失函数中的比重较大，这通常会使学到的权重参数的元素较接近0。当
设为0时，惩罚项完全不起作用。上式中
范数平方
展开后得到
。
有了范数惩罚项后，在小批量随机梯度下降中，我们将线性回归一节中权重
和
的迭代方式更改为
可见，范数正则化令权重
和
先自乘小于1的数，再减去不含惩罚项的梯度。因此，
范数正则化又叫权重衰减。权重衰减通过惩罚绝对值较大的模型参数为需要学习的模型增加了限制，这可能对过拟合有效。
丢弃法Dropout
多层感知机中神经网络图描述了一个单隐藏层的多层感知机。其中输入个数为4，隐藏单元个数为5，且隐藏单元（
）的计算表达式为
这里是激活函数，
是输入，隐藏单元
的权重参数为
，偏差参数为
。当对该隐藏层使用丢弃法时，该层的隐藏单元将有一定概率被丢弃掉。设丢弃概率为
，那么有
的概率
会被清零，有
的概率
会除以
做拉伸。丢弃概率是丢弃法的超参数。具体来说，设随机变量
为0和1的概率分别为
和
。使用丢弃法时我们计算新的隐藏单元
由于，因此
即丢弃法不改变其输入的期望值。让我们对之前多层感知机的神经网络中的隐藏层使用丢弃法，一种可能的结果如图所示，其中和
被清零。这时输出值的计算不再依赖
和
，在反向传播时，与这两个隐藏单元相关的权重的梯度均为0。由于在训练中隐藏层神经元的丢弃是随机的，即
都有可能被清零，输出层的计算无法过度依赖
中的任一个，从而在训练模型时起到正则化的作用，并可以用来应对过拟合。在测试模型时，我们为了拿到更加确定性的结果，一般不使用丢弃法
梯度消失和梯度爆炸
深度模型有关数值稳定性的典型问题是消失（vanishing）和爆炸（explosion）。
当神经网络的层数较多时，模型的数值稳定性容易变差。
假设一个层数为的多层感知机的第
层
的权重参数为
，输出层
的权重参数为
。为了便于讨论，不考虑偏差参数，且设所有隐藏层的激活函数为恒等映射（identity mapping）
。给定输入
，多层感知机的第
层的输出
。此时，如果层数
较大，
的计算可能会出现衰减或爆炸。举个例子，假设输入和所有层的权重参数都是标量，如权重参数为0.2和5，多层感知机的第30层输出为输入
分别与
（消失）和
（爆炸）的乘积。当层数较多时，梯度的计算也容易出现消失或爆炸。
随机初始化模型参数
在神经网络中，通常需要随机初始化模型参数。具体原因如下：
回顾多层感知机一节描述的多层感知机。为了方便解释，假设输出层只保留一个输出单元（删去
和
以及指向它们的箭头），且隐藏层使用相同的激活函数。如果将每个隐藏单元的参数都初始化为相等的值，那么在正向传播时每个隐藏单元将根据相同的输入计算出相同的值，并传递至输出层。在反向传播中，每个隐藏单元的参数梯度值相等。因此，这些参数在使用基于梯度的优化算法迭代后值依然相等。之后的迭代也是如此。在这种情况下，无论隐藏单元有多少，隐藏层本质上只有1个隐藏单元在发挥作用。因此，正如在前面的实验中所做的那样，我们通常将神经网络的模型参数，特别是权重参数，进行随机初始化。
（1）PyTorch的默认随机初始化
随机初始化模型参数的方法有很多。在线性回归的简洁实现中，我们使用torch.nn.init.normal_()使模型net的权重参数采用正态分布的随机初始化方式。不过，PyTorch中nn.Module的模块参数都采取了较为合理的初始化策略（不同类型的layer具体采样的哪一种初始化方法的可参考源代码），因此一般不用我们考虑。
（2）Xavier随机初始化
还有一种比较常用的随机初始化方法叫作Xavier随机初始化。
假设某全连接层的输入个数为，输出个数为
，Xavier随机初始化将使该层中权重参数的每个元素都随机采样于均匀分布
它的设计主要考虑到，模型参数初始化后，每层输出的方差不该受该层输入个数影响，且每层梯度的方差也不该受该层输出个数影响。
卷积神经网络
卷积层与全连接层的对比
二维卷积层经常用于处理图像，与此前的全连接层相比，它主要有两个优势：
一是全连接层把图像展平成一个向量，在输入图像上相邻的元素可能因为展平操作不再相邻，网络难以捕捉局部信息。而卷积层的设计，天然地具有提取局部信息的能力。
二是卷积层的参数量更少。不考虑偏置的情况下，一个形状为的卷积核的参数量是
，与输入图像的宽高无关。假如一个卷积层的输入和输出形状分别是
和
，如果要用全连接层进行连接，参数数量就是
。使用卷积层可以以较少的参数数量来处理更大的图像。
卷积层的简洁实现
我们使用Pytorch中的nn.Conv2d类来实现二维卷积层，主要关注以下几个构造函数参数：
-
in_channels(python:int) – Number of channels in the input imag -
out_channels(python:int) – Number of channels produced by the convolution -
kernel_size(python:int or tuple) – Size of the convolving kernel -
stride(python:int or tuple, optional) – Stride of the convolution. Default: 1 -
padding(python:int or tuple, optional) – Zero-padding added to both sides of the input. Default: 0 -
bias(bool, optional) – If True, adds a learnable bias to the output. Default: True
forward函数的参数为一个四维张量，形状为，返回值也是一个四维张量，形状为
，其中
是批量大小，
分别表示通道数、高度、宽度。
代码讲解
X = torch.rand(4, 2, 3, 5)
print(X.shape)
conv2d = nn.Conv2d(in_channels=2, out_channels=3, kernel_size=(3, 5), stride=1, padding=(1, 2))
Y = conv2d(X)
print('Y.shape: ', Y.shape)
print('weight.shape: ', conv2d.weight.shape)
print('bias.shape: ', conv2d.bias.shape)
全连接层和卷积层
使用全连接层的局限性：
- 图像在同一列邻近的像素在这个向量中可能相距较远。它们构成的模式可能难以被模型识别。
- 对于大尺寸的输入图像，使用全连接层容易导致模型过大。
使用卷积层的优势：
- 卷积层保留输入形状。
- 卷积层通过滑动窗口将同一卷积核与不同位置的输入重复计算，从而避免参数尺寸过大。
LeNet 模型
LeNet分为卷积层块和全连接层块两个部分。下面我们分别介绍这两个模块。
卷积层块里的基本单位是卷积层后接平均池化层：卷积层用来识别图像里的空间模式，如线条和物体局部，之后的平均池化层则用来降低卷积层对位置的敏感性。
卷积层块由两个这样的基本单位重复堆叠构成。在卷积层块中，每个卷积层都使用的窗口，并在输出上使用sigmoid激活函数。第一个卷积层输出通道数为6，第二个卷积层输出通道数则增加到16。
全连接层块含3个全连接层。它们的输出个数分别是120、84和10，其中10为输出的类别个数。
#net
class Flatten(torch.nn.Module): #展平操作
def forward(self, x):
return x.view(x.shape[0], -1)
class Reshape(torch.nn.Module): #将图像大小重定型
def forward(self, x):
return x.view(-1,1,28,28) #(B x C x H x W)
net = torch.nn.Sequential( #Lelet
Reshape(),
nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=6, kernel_size=5, padding=2), #b*1*28*28 =>b*6*28*28
nn.Sigmoid(),
nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2), #b*6*28*28 =>b*6*14*14
nn.Conv2d(in_channels=6, out_channels=16, kernel_size=5), #b*6*14*14 =>b*16*10*10
nn.Sigmoid(),
nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2), #b*16*10*10 => b*16*5*5
Flatten(), #b*16*5*5 => b*400
nn.Linear(in_features=16*5*5, out_features=120),
nn.Sigmoid(),
nn.Linear(120, 84),
nn.Sigmoid(),
nn.Linear(84, 10)
)
LeNet交替使用卷积层和最大池化层后接全连接层来进行图像分类
AlexNet
首次证明了学习到的特征可以超越⼿⼯设计的特征，从而⼀举打破计算机视觉研究的前状。
特征：
- 8层变换，其中有5层卷积和2层全连接隐藏层，以及1个全连接输出层。
- 将sigmoid激活函数改成了更加简单的ReLU激活函数。
- 用Dropout来控制全连接层的模型复杂度。
- 引入数据增强，如翻转、裁剪和颜色变化，从而进一步扩大数据集来缓解过拟合。
import time
import torch
from torch import nn, optim
import torchvision
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input/")
import d2lzh1981 as d2l
import os
import torch.nn.functional as F
device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
class AlexNet(nn.Module):
def __init__(self):
super(AlexNet, self).__init__()
self.conv = nn.Sequential(
nn.Conv2d(1, 96, 11, 4), # in_channels, out_channels, kernel_size, stride, padding
nn.ReLU(),
nn.MaxPool2d(3, 2), # kernel_size, stride
# 减小卷积窗口，使用填充为2来使得输入与输出的高和宽一致，且增大输出通道数
nn.Conv2d(96, 256, 5, 1, 2),
nn.ReLU(),
nn.MaxPool2d(3, 2),
# 连续3个卷积层，且使用更小的卷积窗口。除了最后的卷积层外，进一步增大了输出通道数。
# 前两个卷积层后不使用池化层来减小输入的高和宽
nn.Conv2d(256, 384, 3, 1, 1),
nn.ReLU(),
nn.Conv2d(384, 384, 3, 1, 1),
nn.ReLU(),
nn.Conv2d(384, 256, 3, 1, 1),
nn.ReLU(),
nn.MaxPool2d(3, 2)
)
# 这里全连接层的输出个数比LeNet中的大数倍。使用丢弃层来缓解过拟合
self.fc = nn.Sequential(
nn.Linear(256*5*5, 4096),
nn.ReLU(),
nn.Dropout(0.5),
#由于使用CPU镜像，精简网络，若为GPU镜像可添加该层
#nn.Linear(4096, 4096),
#nn.ReLU(),
#nn.Dropout(0.5),
# 输出层。由于这里使用Fashion-MNIST，所以用类别数为10，而非论文中的1000
nn.Linear(4096, 10),
)
def forward(self, img):
feature = self.conv(img)
output = self.fc(feature.view(img.shape[0], -1))
return output
* 使用重复元素的网络（VGG）
VGG：通过重复使⽤简单的基础块来构建深度模型。
Block:数个相同的填充为1、窗口形状为的卷积层,接上一个步幅为2、窗口形状为
的最大池化层。
卷积层保持输入的高和宽不变，而池化层则对其减半。
VGG11的简单实现
def vgg_block(num_convs, in_channels, out_channels): #卷积层个数，输入通道数，输出通道数
blk = []
for i in range(num_convs):
if i == 0:
blk.append(nn.Conv2d(in_channels, out_channels, kernel_size=3, padding=1))
else:
blk.append(nn.Conv2d(out_channels, out_channels, kernel_size=3, padding=1))
blk.append(nn.ReLU())
blk.append(nn.MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2)) # 这里会使宽高减半
return nn.Sequential(*blk)
conv_arch = ((1, 1, 64), (1, 64, 128), (2, 128, 256), (2, 256, 512), (2, 512, 512))
# 经过5个vgg_block, 宽高会减半5次, 变成 224/32 = 7
fc_features = 512 * 7 * 7 # c * w * h
fc_hidden_units = 4096 # 任意
net = vgg(conv_arch, fc_features, fc_hidden_units)
X = torch.rand(1, 1, 224, 224)
# named_children获取一级子模块及其名字(named_modules会返回所有子模块,包括子模块的子模块)
for name, blk in net.named_children():
X = blk(X)
print(name, 'output shape: ', X.shape)
ratio = 8
small_conv_arch = [(1, 1, 64//ratio), (1, 64//ratio, 128//ratio), (2, 128//ratio, 256//ratio),
(2, 256//ratio, 512//ratio), (2, 512//ratio, 512//ratio)]
net = vgg(small_conv_arch, fc_features // ratio, fc_hidden_units // ratio)
print(net)
运行结果：
Sequential(
(vgg_block_1): Sequential(
(0): Conv2d(1, 8, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1))
(1): ReLU()
(2): MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2, padding=0, dilation=1, ceil_mode=False)
)
(vgg_block_2): Sequential(
(0): Conv2d(8, 16, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1))
(1): ReLU()
(2): MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2, padding=0, dilation=1, ceil_mode=False)
)
(vgg_block_3): Sequential(
(0): Conv2d(16, 32, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1))
(1): ReLU()
(2): Conv2d(32, 32, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1))
(3): ReLU()
(4): MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2, padding=0, dilation=1, ceil_mode=False)
)
(vgg_block_4): Sequential(
(0): Conv2d(32, 64, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1))
(1): ReLU()
(2): Conv2d(64, 64, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1))
(3): ReLU()
(4): MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2, padding=0, dilation=1, ceil_mode=False)
)
(vgg_block_5): Sequential(
(0): Conv2d(64, 64, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1))
(1): ReLU()
(2): Conv2d(64, 64, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1))
(3): ReLU()
(4): MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2, padding=0, dilation=1, ceil_mode=False)
)
(fc): Sequential(
(0): FlattenLayer()
(1): Linear(in_features=3136, out_features=512, bias=True)
(2): ReLU()
(3): Dropout(p=0.5, inplace=False)
(4): Linear(in_features=512, out_features=512, bias=True)
(5): ReLU()
(6): Dropout(p=0.5, inplace=False)
(7): Linear(in_features=512, out_features=10, bias=True)
)
)
batchsize=16
#batch_size = 64
# 如出现“out of memory”的报错信息，可减小batch_size或resize
# train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=224)
lr, num_epochs = 0.001, 5
optimizer = torch.optim.Adam(net.parameters(), lr=lr)
d2l.train_ch5(net, train_iter, test_iter, batch_size, optimizer, device, num_epochs)
* ⽹络中的⽹络（NiN）
LeNet、AlexNet和VGG：先以由卷积层构成的模块充分抽取空间特征，再以由全连接层构成的模块来输出分类结果。
NiN：串联多个由卷积层和“全连接”层构成的小⽹络来构建⼀个深层⽹络。
⽤了输出通道数等于标签类别数的NiN块，然后使⽤全局平均池化层对每个通道中所有元素求平均并直接⽤于分类。
1×1卷积核作用
(1).放缩通道数：通过控制卷积核的数量达到通道数的放缩。
(2).增加非线性。1×1卷积核的卷积过程相当于全连接层的计算过程，并且还加入了非线性激活函数，从而可以增加网络的非线性。
(3).计算参数少
def nin_block(in_channels, out_channels, kernel_size, stride, padding):
blk = nn.Sequential(nn.Conv2d(in_channels, out_channels, kernel_size, stride, padding),
nn.ReLU(),
nn.Conv2d(out_channels, out_channels, kernel_size=1),
nn.ReLU(),
nn.Conv2d(out_channels, out_channels, kernel_size=1),
nn.ReLU())
return blk
# 已保存在d2lzh_pytorch
class GlobalAvgPool2d(nn.Module):
# 全局平均池化层可通过将池化窗口形状设置成输入的高和宽实现
def __init__(self):
super(GlobalAvgPool2d, self).__init__()
def forward(self, x):
return F.avg_pool2d(x, kernel_size=x.size()[2:])
net = nn.Sequential(
nin_block(1, 96, kernel_size=11, stride=4, padding=0),
nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2),
nin_block(96, 256, kernel_size=5, stride=1, padding=2),
nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2),
nin_block(256, 384, kernel_size=3, stride=1, padding=1),
nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2),
nn.Dropout(0.5),
# 标签类别数是10
nin_block(384, 10, kernel_size=3, stride=1, padding=1),
GlobalAvgPool2d(),
# 将四维的输出转成二维的输出，其形状为(批量大小, 10)
d2l.FlattenLayer())
X = torch.rand(1, 1, 224, 224)
for name, blk in net.named_children():
X = blk(X)
print(name, 'output shape: ', X.shape)
batch_size = 128
# 如出现“out of memory”的报错信息，可减小batch_size或resize
#train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=224)
lr, num_epochs = 0.002, 5
optimizer = torch.optim.Adam(net.parameters(), lr=lr)
d2l.train_ch5(net, train_iter, test_iter, batch_size, optimizer, device, num_epochs)
NiN特点
NiN重复使⽤由卷积层和代替全连接层的1×1卷积层构成的NiN块来构建深层⽹络。
NiN去除了容易造成过拟合的全连接输出层，而是将其替换成输出通道数等于标签类别数 的NiN块和全局平均池化层。
NiN的以上设计思想影响了后⾯⼀系列卷积神经⽹络的设计。
* GoogLeNet
- 由Inception基础块组成。
- Inception块相当于⼀个有4条线路的⼦⽹络。它通过不同窗口形状的卷积层和最⼤池化层来并⾏抽取信息，并使⽤1×1卷积层减少通道数从而降低模型复杂度。
- 可以⾃定义的超参数是每个层的输出通道数，我们以此来控制模型复杂度。
class Inception(nn.Module):
# c1 - c4为每条线路里的层的输出通道数
def __init__(self, in_c, c1, c2, c3, c4):
super(Inception, self).__init__()
# 线路1，单1 x 1卷积层
self.p1_1 = nn.Conv2d(in_c, c1, kernel_size=1)
# 线路2，1 x 1卷积层后接3 x 3卷积层
self.p2_1 = nn.Conv2d(in_c, c2[0], kernel_size=1)
self.p2_2 = nn.Conv2d(c2[0], c2[1], kernel_size=3, padding=1)
# 线路3，1 x 1卷积层后接5 x 5卷积层
self.p3_1 = nn.Conv2d(in_c, c3[0], kernel_size=1)
self.p3_2 = nn.Conv2d(c3[0], c3[1], kernel_size=5, padding=2)
# 线路4，3 x 3最大池化层后接1 x 1卷积层
self.p4_1 = nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=1, padding=1)
self.p4_2 = nn.Conv2d(in_c, c4, kernel_size=1)
def forward(self, x):
p1 = F.relu(self.p1_1(x))
p2 = F.relu(self.p2_2(F.relu(self.p2_1(x))))
p3 = F.relu(self.p3_2(F.relu(self.p3_1(x))))
p4 = F.relu(self.p4_2(self.p4_1(x)))
return torch.cat((p1, p2, p3, p4), dim=1) # 在通道维上连结输出
GoogLeNet模型
完整模型结构
b1 = nn.Sequential(nn.Conv2d(1, 64, kernel_size=7, stride=2, padding=3),
nn.ReLU(),
nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1))
b2 = nn.Sequential(nn.Conv2d(64, 64, kernel_size=1),
nn.Conv2d(64, 192, kernel_size=3, padding=1),
nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1))
b3 = nn.Sequential(Inception(192, 64, (96, 128), (16, 32), 32),
Inception(256, 128, (128, 192), (32, 96), 64),
nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1))
b4 = nn.Sequential(Inception(480, 192, (96, 208), (16, 48), 64),
Inception(512, 160, (112, 224), (24, 64), 64),
Inception(512, 128, (128, 256), (24, 64), 64),
Inception(512, 112, (144, 288), (32, 64), 64),
Inception(528, 256, (160, 320), (32, 128), 128),
nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1))
b5 = nn.Sequential(Inception(832, 256, (160, 320), (32, 128), 128),
Inception(832, 384, (192, 384), (48, 128), 128),
d2l.GlobalAvgPool2d())
net = nn.Sequential(b1, b2, b3, b4, b5,
d2l.FlattenLayer(), nn.Linear(1024, 10))
net = nn.Sequential(b1, b2, b3, b4, b5, d2l.FlattenLayer(), nn.Linear(1024, 10))
X = torch.rand(1, 1, 96, 96)
for blk in net.children():
X = blk(X)
print('output shape: ', X.shape)
#batchsize=128
batch_size = 16
# 如出现“out of memory”的报错信息，可减小batch_size或resize
#train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=96)
lr, num_epochs = 0.001, 5
optimizer = torch.optim.Adam(net.parameters(), lr=lr)
d2l.train_ch5(net, train_iter, test_iter, batch_size, optimizer, device, num_epochs)
这篇文字对Word2Vec的数学原理讲解的不错
