摘要：《从数学到哲学》是王浩的代表作，是其正面集中阐释自己哲学思想的作品。循着从柏拉图到哥德尔的“数学-哲学家”传统，王浩在书中首次对实质事实主义一般立场进行了长篇阐发；广泛、深入地讨论了数学哲学的诸议题；探索了心灵与机器、数学与计算机、知识与生活等话题；还重点考察了逻辑和数学领域的一些基本概念。

王浩

一、数理逻辑与数学哲学

1.数学哲学诸议题

· 弗雷格形式化了纯逻辑，提出一种算术到逻辑（集合论）的还原，由此引出了一个更广泛的论题，即全部数学都可还原为逻辑，还拓宽了康德的分析命题概念。弗雷格将集合论纳入逻辑的倾向是数理逻辑学家对康托的直观的数学集合论感兴趣的部分原因。弗雷格对分析命题域的扩张和希尔伯特对隐定义的强调，影响了夸大分析命题对哲学之重要性的趋势。

· 以下是数学哲学中经常讨论的一些彼此部分重叠的基本问题：(1)纯逻辑的性质及其在人类知识中的地位。(2)数学概念的刻画。(3)直观和形式化在数学中的地位。(4)逻辑与数学的关系。(5)数学的本性及其与必然性、分析性、确定性、先天性和自明性等概念的关系。(6)数学在人类知识中的地位。(7)数学的活动和实践。

· 一旦相信逻辑等同于谓词演算，人们就会倾向于认为每种科学理论都可以在谓词演算的框架内表达。我们积极尝试这样来表述科学理论，并借助纯逻辑的概念和结果，假定如此表述的科学理论共享一些特性，如可定义性、居间术语的可消去性、本体论假设。还有一些扩充纯逻辑域的规划，目的是处理因果性、时间、自然语言中的真和意义。

· 数理逻辑最成功之处，也许在于对数学概念的精确刻画。主要的例证是自然数、连续统、集合。纯逻辑的形式化，也可以看作是对逻辑证明或逻辑有效性概念的精确刻画。在一个不同的、可称为元逻辑的层面上，理论充分性的直观概念由完全性和范畴性概念精确化；一致性和模型的直观概念也在数理逻辑中被严格化。而最令人惊讶和有趣的例子，大概是对形式性或机械过程概念的精确定义，它带来了对可判定理论、可计算性和一般不可能性结果的数学处理。

· 数理逻辑对严格证明和启发性过程做了明确区分，前者在数理逻辑中被广泛研究，后者与教学法和关于数学创新的心理学问题紧密相关。一个相关的问题是机械化思维的可能性和局限性。

· 数学是否可还原为逻辑，这个有争议的问题可用一种不同的方式来表述。还原论者同意，亚里士多德的理论未能为数学推理提供一个完整的分析，但还原论者相信，使用一个与三段论理论具有相似特征但扩充了的逻辑理论，这样的分析是可能的。反对者可能会争辩说，数学推理要求本质上不同于三段论的过程。庞加莱就将数学归纳法的每次使用看作一个三段论的无穷序列。这意味着，数学无法还原为纯逻辑。或者如果把集合论包括在逻辑之内，我们就可以把数论也包括进逻辑，从而免于还原。

· 假言还原论或如果-那么还原论认为，数学的任务在于表明，如果存在一个结构，满足如此这般的公理，那么该结构也满足这样那样的其他陈述。虽然公理和定理一般都不是纯逻辑定理，但每个陈述“如果A，那么P”却都是纯逻辑定理，其中p是一个定理，A是推演p所用到的公理的合取。

· 鉴于我们不想讨论关于复杂的直观证明的实际形式化问题，我们可以省掉对不完全或不充分的公理集的探究。给定对定理p的一个证明，我们收集其所使用的所有非逻辑公理。对于一个熟悉的系统S，除了其本身具有的公理，我们还可以把表达S的一致性的命题Con(S)也包括进来，这样就能阻止哥德尔不完全性。

· 我们要求且只要求公理的一致性。但我们须臾不离的公理，比如集合论公理，其一致性并未得到证明。而大多数可能的一致系统明显都是无趣的。

· 假言逻辑主义理论未能触及算术、几何和集合论公理的特殊直观特征，正是这些特征使那些公理在数学中具有如此核心的地位。

· 弗雷格对康德分析命题概念的推广逐渐吸收了全部数学，导向如下一些吸引人的观点：全部数学命题都是分析的（基于所涉及的概念的意义为真），是约定真理（与命题“一码有三尺”属于同类型），是“重言的”（在所有可能世界中为真）。“全部数学命题都是分析的”这种笼统的泛化似乎也不能为理解数学的本质提供多少东西，并且似乎抹去了很多概念上重要区别。

2.公理方法与抽象结构

· 使用形式公理系统是数理逻辑的一个常见特征。每一个科学理论都涉及一组概念和一个断言集。当被问及一个概念的意义时，我们经常用其他一些概念来解释或定义它。当被问及何以相信一个断言为真时，我们常常这样来核证自己的信念，即指出它是我们所接受的其他一些断言的后承或可由它们推演出来。

· 初始命题通常被称作公理或公设。当一个理论的概念和命题根据可定义性和可推演性的关系被组织起来，我们就获得了该理论的一个公理系统。

· 人们想要明确地表述假定，严格地证明，清晰地定义概念。人们要求，在数学中，凡能够证明的都应当被证明。人们认识到，证明的作用不仅是确立真理，还在于揭示不同定理之间的相互联系。通常只有在给出严格的证明之后，一个定理的有效性的确切限制才能被确定。

· 在公理系统的演化过程中，出现了关于形式化的一个严格标准，它不基于意义和概念，而基于项和公式的记号特征。该标准是这样的：存在机械的程序来确定，一个给定的记号样式是不是系统中出现的符号，这些符号的一个组合是不是系统的一个有意义的公式，或公理，或证明。

· 只要我们使用基本符号的合适的物理表征，理论上就可以构造一台机器来挑选出系统的全部句子。公理和推理规则也是完全明确的。这些系统的每个证明，完全写出来，是一个有穷多行的序列，其中每一行，要么是一条公理，要么是通过一个明确的推理规则从序列中在先的几行得出。给定任何证明，按照系统对证明的形式要求予以呈现后，我们可以机械地检验其正确性。

· 公理方法有两个不同的发展方向。一方面，我们有诸如算术和欧几里得几何学那样的形式系统，它们每一个都有一个预期模型。如果我们把这些系统设想为二阶理论，后者预设一个预期的、非形式的（整数、点或实数的）集合概念，它们就是范畴性的，但不再是完全形式的。另一方面，我们有抽象的结构，它们的力量源自这样的事实，它们（群、域、拓扑空间等）中的每一个都允许多种多样的实现方式。

· 布尔巴基学派提出用抽象结构来统一数学。他们相信，但数学之内在演化，在今日比以往任何时候都更加有力地重申了数学不同部分间的统一性，并创造了一种比以往任何时候都更为融贯的核心，即结构的层谱体系。

· 人们这样设想结构，它们构成一个从简单到复杂、从一般到特殊的层谱体系。位于中心的是母结构，如群和有序集。它们直接引向有穷群、阿贝尔有穷群、线序集、良序集等。我们还有得自多种母结构的复合结构，它们不是通过简单的并置得到，而是通过一条或多条联结性公理有机地得到。

· 这种一般观点的一些局限性已经被认识到。完全特殊的实数理论对于发展拓扑学和积分等一般理论是不可或缺的。在很多理论（特别是数论）中都有很多孤立的结果，我们今天还不能把它们圆满地归类和关联到已知的结构。而且结构不是一成不变的，我们很有可能会找到新的基本结构、新的公理和它们的新组合。

· 逻辑斯蒂形式主义指出，数学是通过演绎推理（或纯逻辑）的使用而被统一在一起的。与逻辑斯蒂形式主义形成对比的是一种好的形式主义，它强调结构，亦即理论的形式。这种好形式主义强调公理方法的重要或本质的方面，它始于这样的假定，即数学不仅是随机发现的一串三段论，也不仅是由纯技术能力偶然设计出的奇技淫巧的汇集。

· 对此种结构主义的一个常见反驳是，它忽视了数学世界和自然科学世界之间的重要联系。尽管实验实在的某些方面通过某种预适应实现了那些抽象结构，但仍然无法否认，这种结构主义在为纯数学请求一种特别的自主权。

· 根据布尔巴基，“数学结构”在本性上是抽象的。这一通用名称所指称的不同概念的共同特征是，它们可以被应用到其本性尚无规定的元素的集合上。结构主义的核心训条是，数学中的所有特殊性都可以无遗漏地用抽象结构来分析。

3.一致性问题

· 针对非构造性证明在分析中的盛行，克罗内克在集合论悖论发现很久以前就已经开始强调使用构造性证明方法的可取性。不仅布劳威尔的立场可以看作是在呼吁禁止非构造性证明，甚至希尔伯特的进路也可以看作是在要求用构造性方法来核证非构造性证明。

· 当我们想要形式化并避免诉诸直觉时，形式系统的一致性问题似乎就不可避免。因为如果我们不再要求形式系统的公理是直觉上显然的，我们就不能保证矛盾不会出现。

· 一个形式系统是一致的，如果它的任何定理的否定都不是定理。这等价于说，该系统的某个命题不是定理，因为在一个不一致的系统中，所有命题都是定理。

· 在每个满足特定条件的系统中，都可以找到一个命题p,它可以被理解成是在表达，p本身不是系统的定理。并且可以证明，假定该系统一致，命题p在系统中是不可证的。

· 表达一致性的自然命题是否可证，仍是有待判定的问题。存在一些命题，它们直观上也表达系统的一致性，但却是可证的。

· 表达一致性的自然的命题在系统内是不可证的。哥德尔的这一结果使很多人相信，没有任何重要的一致性证明是可能的，特别地，信息丰富的数论一致性证明没有意义。其推理过程似乎如下：哥德尔定理表明，一致性证明必须用到无法在给定系统中形式化的方法。因此一致性证明比系统中的任何证明都更不初等（更有争议）。因此一致性证明无法改善我们对系统可信度的心理信念状态。因此一致性证明没有意义。

· 王浩倾向于质疑所有这三步推理。没有理由认为，数论现行的形式化必定如此准确地反映证明的可信程度，以至于系统内的每个证明都比系统外的证明更可信。存在一些关于自然数的直观推理模式，它们的显明特征逃脱了我们通常的形式化处理。

· 在理解单个证明和看出无穷多的证明中无一会导向矛盾之间，存在着巨大的差异。在一致性证明中，我们是被要求把握超穷归纳原理的一个单次应用，以便看到一个更困难的结论为真，即数学归纳法原理在其全部应用中都不会导致矛盾。在这个问题上，更有说服力的论证或许只能通过实际地考察一个给定的一致性证明得到。

· 形式系统的目的是表征直观理论，在这个意义上，我们期望系统的定理表征直观上为真的命题。要保证这一点，一致性是必要的但不充分。不一致的系统的定理不能都是真的。但一致的系统的定理也不必都是真的。

· 我们能找到一个演算和一个公式F(a)，使得对任意的数n，F(n)是定理，而“存在数y，并非产F(y)”也是定理（ω-不一致）。我们倾向于认为，如果F(n)对任何儿都为真，那么“∃y¬F(y)”必定为假。

· 维特根斯坦有时将系统中为真等同于系统中可证。如果我们假定一个演算的基本词项的意义完全由证明规则决定，那么这种等同似乎就是不可避免的。如果将真与可证等同，追问一个不可判定语句的真假是无意义的。

· 罗素-策梅洛悖论竟使弗雷格怀疑算术能有一个可靠的基础。实际上，矛盾并不必然要求我们抛弃所有用集合对数所做的定义。受影响的只是一般集合论形式化计划，并且这还是源于弗雷格独有的、把集合当作逻辑的一部分的想法。

· 有一种想法是，把形式系统当作区分可欲论证和不可欲论证的一种工具。形式系统的构建基于这样的指导原则，即每当一个论证被发现有错时，所有同种类的论证都要被排斥。然而给定任意论证，在试图确定其所属的种类时，却不可避免地存在一种任意性。

· 假定我们有一组定理和这些定理的证明可以在其中实现的一个形式系统。假定我们在这个形式系统中发现了一个矛盾。一个被普遍接受的原则是，矛盾蕴涵一切。我们依然可以区分该系统的借助矛盾的证明和不借助矛盾的证明。这个系统的每个命题都有前一种证明，但并不必然有后一种证明。

· 对一致性证明的更为现代的追求，有着不同的动机和比避免矛盾更为重要的目的：寻求对所涉概念和方法的更好的理解。

· 如此假定似乎是合理的，即如果一个理论是一致的，那么它必定有某种解释。逻辑学的基本定理提供了更严格的回答：任何这样的理论，如果是一致的，都有相对简单的正整数论模型，这里“简单”的意思是指只需要算术层谱中较低层次的谓词。

· 我们可能认为，基本的问题是正整数在什么意义上存在。我们关心满足算术公理的结构或关系的存在问题；个别的正整数将在这样的结构中获得派生的存在性。

· 常用集合论系统的定理，其算术翻译在常用算术系统中经常不再是定理。因此算术公理的一致性证明不能解决古典分析或集合论的一致性问题。

· 一致但无标准模型的系统，比如ω-不一致的系统（系统可以证明F对每个单独的自然数成立，但同时又声称“存在一个数不满足F”）的存在，显示出存在与一致之间的某种裂隙。

· 有一种诱人的想法是，借助非构造性的归纳规则（ω规则）和类似的语义概念来刻画算术、古典分析和集合论中的全部真命题，从而突破基础难题。这样不自然的数之类的东西当然就被基本原则排除掉了。但是这就不会剩下什么要解释的了，因为要解释的都被当成理所当然的。

4.数理逻辑对哲学家的欺骗性吸引力

· 王浩曾试图向一群哲学家申辩数理逻辑的价值。后来他开始怀疑起许多他之前热情主张的东西，不仅是因为数理逻辑变成了一门更为技术化的学科，还因为就其对哲学的影响而言，他不再确定那些影响是好的。

· 在讨论基础问题时，人们惯于拿三大思想学派说话：直觉主义、形式主义和逻辑主义。其实三大学派之间的分歧点远不如它们的共同点重要。没有哪个活跃的逻辑学家忠实地代表了三大学派中的任何一个。

· 最基本的划分是客观主义数学和构造性数学之间的划分。前者包括全部数论、古典分析和康托的高阶无穷。后者则有三种不同的解释。第一种只处理自然数，即有穷主义，仅接受可计算的函数和无量词的证明方法。第二种即直觉主义，它承认量词但拒斥排中律。第三种是直谓集合论，它允许量词和一般的排中律，但拒斥非直谓定义，因为后者违反恶性循环原则。

· 我们得到四个畛域：(1)有穷主义（可计算的无量词的方法），(2)直觉主义，(3)直谓集合论，(4)客观主义数学。在王浩看来，这四个畛域的特征和相互关系构成了基础研究的中心问题。

· 在逻辑的本性这个问题上，王浩考虑接受一种介于极端的约定论和绝对的实在论之间的中间立场。一方面，无论是要拒斥还是保留非直谓定义，都可以找到一般性的理由。另一方面，决定这种事情的办法不应是任意选择，而应是深入研究两种立场的相对优点和非直谓定义的本性。王浩认为，更好的理解可以使我们在两种立场间做出自然的而非任意的抉择，或使我们能以某种方式把非直谓定义看成直谓定义的自然极限，从而能够建立从后者到前者的一种连续扩张。

· “超有穷主义”把有穷数分成可操纵的和不可操纵的，主张只有可操纵的数才是直观上显明的。有穷主义和直觉主义只接受潜无穷，直谓主义接受自然数集作为一种实现的东西，但不接受更高的无穷，而客观主义则接受各种实无穷。

· 数理逻辑和数学哲学紧密相关，尽管它们的侧重点不同。数理逻辑构造并研究形式或公理系统，而哲学观点则为技术性研究提供方向，并为已经存在的形式系统提供辩护。

· 一个语言游戏在如下意义上是一个形式系统：尽管人们不枚举要用的语词，却描述了一个良好定义的具体情境，使得在该情境中使用的那些语词和推理，在事实上得到本质的确定。

· 当一个概念的适用范围较宽广时，形式系统比语言游戏更合用。这里涉及单个概念与一个概念家族之间的对比。过度使用形式系统，错在把一个概念家族当成一个单一的概念。无限制地嫌恶形式系统，错在把每个适用范围广的概念都当成一个概念家族。

· 对形式系统的过分强调似乎没有道理。对数学过程这个直观概念的形式化并不是用形式系统实现的。相比于实际地构造形式系统，数学结果和流行的哲学应用与一般性的思考存在的和不存在的形式系统更多地相关。

参考文献

王浩，《从数学到哲学》