19 案例学习

本章回顾到目前为止我们看到的计算模式，并介绍可以应用它们的练习。

19.1 计算工具

在第11章我们看到了一种更新函数（update function)，它使用多个赋值来解压一个State对象，并将状态变量赋值给局部变量。

def update_func(state, t, system):
    s, i, r = state
    
    infected = system.beta * i * s
    recovered = system.gamma * i
    
    s -= infected
    i += infected - recovered
    r += recovered
    
    return State(S=s, I=i, R=r)

在run_simulation中，我们再次使用多个赋值将状态变量赋值给TimeFrame中的一行：

def run_simulation(system, update_func):
    frame = TimeFrame(columns=system.init.index)
    frame.row[system.t_0] = system.init
    
    for t in linrange(system.t_0, system.t_end):
        frame.row[t+1] = update_func(frame.row[t], system)
        
    return frame

在第12章中，我们用了max和idxmax函数来计算度量指标：

largest_value = S.max()
time_of_largest_value = S.idxmax()

然后我们看到了logistic函数，是一种用来模拟变量之间关系的通用函数，比如作为支出函数的干预有效性。

在第13章中，我们用SweepFrame对象来扫描两个参数：

def sweep_parameters(beta_array, gamma_array):
    frame = SweepFrame(columns=gamma_array)
    for gamma in gamma_array:
        frame[gamma] = sweep_beta(beta_array, gamma)
    return frame

然后我们用contour生成一个二维扫描的等高线图。

在第15章中，我们用linrange来创建一个等间距值的数组。linrange和linspace是很相似的：区别在于linrange允许指定值之间的间距，并计算值的数量；linspace允许指定值的数量，并计算它们之间的间距。

下面是一个使用linrange的run_simulation版本：

def run_simulation(system, update_func):
    init = system.init
    t_0, t_end, dt = system.t_0, system.t_end, system.dt
    
    frame = TimeFrame(columns=init.index)
    frame.row[t_0] = init
    ts = linrange(t_0, t_end, dt)
    
    for t in ts:
        frame.row[t+dt] = update_func(frame.row[t], t, system)
        
    return frame

在第16章中，我们用root_bisect来求生成一个特定结果的参数的值，首先定义一个误差函数(error function)：

system = make_system(T_init=90, r=r, volume=300, t_end=30)
results = run_simulation(system, update_func)
T_final = get_last_value(results.T)
return T_final - 70

然后将返回的值传递给root_bisect并给定初始区间，如下所示：

res = root_bisect(error_func1, [0.01, 0.02])
r_coffee = res.root

在第17章中，我们用了interpolate，返回的结果是一个函数：

I = interpolate(data.insulin)

我们可以像其他函数一样调用I，将单个值或NumPy数组作为传递的参数：

I(18)

ts = linrange(t_0, t_end)
I(ts)

在第18章中，我们用了Params对象，它是参数的集合。

params = Params(G0 = 290,
                k1 = 0.03,
                k2 = 0.02,
                k3 = 1e-05)

第18章还介绍了run_ode_solver，用来计算微分方程的数值解。

run_ode_solver使用一个斜率函数（slope function），类似于更新函数：

G, X = state
k1, k2, k3 = system.k1, system.k2, system.k3
I, Ib, Gb = system.I, system.Ib, system.Gb

dGdt = -k1 * (G - Gb) - X*G
dXdt = k3 * (I(t) - Ib) - k2 * X

return dGdt, dXdt

然后我们这样调用它：

results, details = run_ode_solver(system, slope_func)

本章的其余部分将介绍可以用来练习这些工具的实例研究。

19.2 胰岛素最小模型

除了第17章的葡萄糖最小模型外，Berman等人还开发了胰岛素最小模型，在此模型中胰岛素的浓度 I 由以下微分方程控制：

其中：

• 是独立于血糖控制胰岛素消失率的参数。
• 是时间 t 时测得的血糖浓度。
• 是是葡萄糖阈值；当血糖高于这个水平时，会引发血胰岛素浓度的增加。
• 是血糖浓度高于（或低于）时控制血胰岛素浓度升高（或降低）速率的参数。

初始状态是。在葡萄糖最小模型中，我们将初始条件作为一个参数，我们将选择它来拟合数据。

该模型的参数可以用来估计和, 这两个值分别描述第一阶段和第二阶段胰腺反应对葡萄糖的敏感性。它们与以下参数相关：

其中，是测得的最大胰岛素水平，和分别是胰岛素和葡萄糖的基础水平。

在这本书的存储库中，你可以找到笔记本insulin.ipynb，其中包含本案例研究的启动程序代码。用它来实现胰岛素模型，找到拟合数据最好的参数，并估计这些值。

19.3 低通滤波器

下面的电路图^[1]展示了由一个电阻和一个电容构成的低通滤波器。

19_1.png

图19.1

“滤波器”是将一个信号作为输入，并产生一个信号作为输出的电路。在这种情况下，”信号“是随时间变化的电压值。

如果一个滤波器允许低频信号保持不变地从到通过，而降低高频信号的振幅，那么它就是“低通”的。

应用电路分析定律，我们可以导出一个描述该系统现象的微分方程。通过求解微分方程，我们可以预测该电路对任何输入信号的影响。

假设我们给定某个特定时刻的和。根据欧姆定律，此定律是电阻特性的一个简单模型，通过电阻的瞬时电流为：

其中是以欧姆（）为单位的电阻值。

假设没有电流通过电路的输出，霍尔基夫电流定律表明通过电容器的电流为：

根据电容器特性的一个简单模型，通过电容器的电流会引起电容器上电压的变化：

其中是以法拉()为单位的电容值。合并这些等式可以得到的微分方程：

在这本书的存储库中，你可以找到笔记本filter.ipynb，其中包含本案例研究的启动程序代码。按照以下说明模拟低通滤波器，输入信号如下所示：

其中A是输入信号的的振幅，比如5 V，f是信号的频率，单位为Hz。

在这本书的存储库中，你可以找到笔记本filter.ipynb，其中包含本案例研究的启动程序代码。阅读笔记本，运行代码，并做练习。

19.4 墙的热力学行为

本案例研究是基于Gori等人的一篇论文^[2]，该论文对砖墙的热力学行为进行了建模，目的是了解“建筑物的预期能量使用与其测量的能量使用之间的性能差距”。

下图展示了墙的场景及其模型：

19_0.png

图19.2

在墙的内外表面，他们测量了三天内的温度和热通量。将两个蓄热体连接到表面，并通过热敏电阻相互连接，以此来模拟墙模型。

该论文的主要方法是用贝叶斯方法推导系统的参数（两个蓄热体和三个热敏电阻）。

主要结果是两个模型的比较：一个模型有两个蓄热体，另外一个更简单的模型则只有一个蓄热体。他们发现双蓄热体的模型能更好地持续性地再生测量的热通量。

对于此案例研究，我们将实现他们的模型，并用论文中估计的参数运行它，然后使用fit_leastsq来看看我们是否能找到产生较低误差的参数。

在这本书的存储库中，你可以找到笔记本wall.ipynb，其中有本案例研究的代码和结果。

本书的中文翻译由南开大学医学院智能医学工程专业2018级、2019级的师生完成，方便后续学生学习《Python仿真建模》课程。翻译人员（排名不分前后）：薛淏源、金钰、张雯、张莹睿、赵子雨、李翀、慕振墺、许靖云、李文硕、尹瀛寰、沈纪辰、迪力木拉、樊旭波、商嘉文、赵旭、连煦、杨永新、樊一诺、刘志鑫、彭子豪、马碧婷、吴晓玲、常智星、陈俊帆、高胜寒、韩志恒、刘天翔、张艺潇、刘畅。

整理校订由刘畅完成，如果您发现有翻译不当或者错误，请邮件联系changliu@nankai.edu.cn。

本书中文版不用于商业用途，供大家自由使用。

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1. 来自http://modsimpy.com/divider ↩

2. Gori, Marincioni, Biddulph, Elwell, “Inferring the thermal resistance and effective ther-mal mass distribution of a wall from in situ measurements to characterise heat transfer at both the interior and exterior surfaces”, Energy and Buildings, Volume 135, pages 398-409, http://modsimpy.com/wall2 . 作者将其论文置于知识共享（Creative Commoms）许可下，并在http://modsimpy.com/wall 上提供了他们的数据，我感谢他们致力于开放、可复制的科学，这使得本案例研究成为可能。 ↩