(概率论基础2)多维随机变量

多维随机变量

离散型随机变量的分布

若一个随机向量 $X=(X_1, X_2, ... , X_n)$ ，如果其中每一个分量 $X_i$ 都是1维离散型随机变量，则 $X$ 是一个 $n$ 维的离散型随机变量。

多项分布

完备事件组：设事件 $A_1, A_2, A_3, ... , A_n$ 是两两互斥，其和为必然事件，每次试验必发生一个且仅一个发生，则称 $A_1, A_2, A_3, ... , A_n$ 是一个完备事件组。记 $P_i$ 为第 $i$ 个事件发生的概率，则 $p_i \geq 0$ 。且 $\sum_{i=1}^{n} p_i=1$ 。

将试验独立的重复 $N$ 次，以 $X_i$ 记在这 $N$ 次试验中 $A_i$ 出现的次数，则 $X=(X_1, X_2, X_3, ... ,X_n)$ 为一个 $n$ 维向量。其中， $X_1 + X_2 + X_3 + ... + X_n=N$ ，那么 $X$ 的概率分布就称为多项分布。

一个小栗子：一个工厂生产的一、二、三和不合格产品的概率分别为 $P_1, P_2, P_3, P_4$ ，从该厂产品中抽出 $N$ 个（ $N$ 很大，可近似看为一个一个独立抽出，不影响各类产品的概率）则 $X=(X_1, X_2, X_3, X_4)$ 为一个多项分布，记为 $X \sim M(N; P_1, P_2, P_3, P_4)$ 。

另一个视角：
相当于把 $N$ 个产品分成4堆（4类产品），各堆有 $k_1, k_2, k_3, k_4$ 件不同的分法（ $N$ 个产品中有 $k_1$ 个一等品， $k_2$ 个二等品， $k_3$ 个三等品， $k_4$ 个不合格产品），这样的分法有：

$\begin{align} \frac {N!} {k_1! k_2! k_3! k_4!} \tag{1.1} \end{align}$

那么，在 $k_i$ 为非负整数且 $k_1+k_2+k_3+k_4=N$ 的情况下，

$\begin{align} P \left \{X_1=k_1,X_2=k_2,X_3=k_3,X_4 =k_4 \right \} = \frac {N!} {k_1! k_2! k_3! k_4!}·P_1^{k_1}P_2^{k_2}P_3^{k_3}P_4^{k_4} \tag{1.2} \end{align}$

多项式展开式，在满足 $k_1+k_2+...+k_n=N$ 的条件下：
$\begin{align} (X_1+X_2+...+X_n)^N = \sum \frac {N!} {k_1! k_2! ... k_n!}·P_1^{k_1}P_2^{k_2}...P_n^{k_n} \end{align}$

连续型随机变量的分布

若 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ 是定义在 $R^n$ 上的非负函数，对 $R^n$ 中的任何集合 $A$ 都有，
$\begin{align} F(x_1, x_2, ..., x_n)=\int_{-\infty}^{x_n}... \int_{-\infty}^{x_1} f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n \tag{1.3} \end{align}$

二维随机变量

联合分布

联合分布函数：
$\begin{align} F(x,y)=P\left \{ (X \leq x) \cap (Y \leq y) \right \}==P\left \{X \leq x, Y \leq y \right \} \tag{2.1} \end{align}$

可理解成落在以点 $(x,y)$ 为顶点，位于左下方的无穷矩阵区域内的概率（其实就是面积，顶点越往右上角所覆盖的面积越大）。

1.离散型随机变量

设二维随机变量 $(X,Y)$ 所有可能的取值为 $(x_i,y_i), i,j = 1, 2, ...,$ 则 $P(X=x_i, Y=y_i)=p_{ij}$ 有：
$\begin{align} \sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=1 \tag{2.2} \end{align}$
$P\left \{X=x, Y=y \right \}=p_{ij}$ 为二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布律。

2.连续型随机变量

当存在二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x, y)$ ，若存在非负可积函数 $f(x,y)$ 对于任意 $x,y$ 满足
$\begin{align} F(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f(u,v)dudv \tag{2.3} \end{align}$
则称 $(X,Y)$ 是连续型的二维随机变量， $f(x,y)$ 是二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度，或称之为 $X,Y$ 的联合概率密度

边缘分布

把联合分布拆开成单个的随机变量的问题。

因为边缘分布函数可以由 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$ 求出。
$\begin{align} F(x)=P \left \{ X \leq x \right \}=P \left \{ X \leq x, Y < \infty \right \}=F(x, \infty) \tag{3.1} \end{align}$

1.离散型随机变量

$\begin{align} P \left \{X=x_i \right \}=\sum_{j=1}^{\infty} p_{ij}, i=1,2,... \tag{3.2} \end{align}$

$\begin{align} P \left \{Y=y_j \right \}=\sum_{i=1}^{\infty} p_{ij}, j=1,2,... \tag {3.3} \end{align}$

2.连续型随机变量

随机变量 $X$ 的分布函数为：
$\begin{align} F_X(x)=F(x, \infty)=\int_{-\infty}^{x}\left [ \int_{-\infty}^{y}f(x,y)dy \right ] dx \tag {3.4-1} \end{align}$

则随机变量 $X$ 的概率密度函数为：

$\begin{align} f_X(x)= \int_{-\infty}^{y}f(x,y)dy \tag {3.4-2} \end{align}$

随机变量 $Y$ 的分布函数为：
$\begin{align} F_Y(y)=F(y, \infty)=\int_{-\infty}^{y}\left [ \int_{-\infty}^{x}f(x,y)dx \right ] dy \tag {3.5-1} \end{align}$

则随机变量 $Y$ 的概率密度函数为：

$\begin{align} f_Y(y)= \int_{-\infty}^{x}f(x,y)dx \tag {3.5-2} \end{align}$

条件分布

在已知联合分布和边缘分布的情况下，可以计算出随机变量 $X$ 的条件分布。 $P\left \{X=x_i|Y=y_i \right \}, i=1,2,...$

1.离散型随机变量

$\begin{align} P\left \{X=x_i|Y=y_i \right \}=\frac{P\left \{X=x_i, Y=y_i \right \}}{P\left \{Y=y_i \right \} }=\frac {p_{ij}}{p_·j} \tag{4.1} \end{align}$

$\begin{align} P\left \{Y=y_i | X=x_i\right \}=\frac{P\left \{X=x_i, Y=y_i \right \}}{P\left \{X=x_i \right \} }=\frac {p_{ij}}{p_i·} \tag{4.2} \end{align}$

2.连续型随机变量

由于连续性随机变量的特殊性（在某一点的概率为0），需要借助极限逼近的思想，考虑 $P \left \{ X \leq x | y < Y \leq y + \epsilon \right \}$ ，则有
$\begin{align} P \left \{ X \leq x | y < Y \leq y + \epsilon \right \} =&\frac{P \left \{ X \leq x , y < Y \leq y + \epsilon \right \}}{P \left \{y < Y \leq y + \epsilon \right \}} \\ =&\frac {\int_{-\infty}^{x} \int_{y}^{y+\epsilon}f(x,y)dydx}{\int_{y}^{y+\epsilon}f_{Y}(y) dy} \tag{4.3} \end{align}$
某些条件下，取 $\epsilon$ 趋近于0，则有
$\begin{align} P \left \{ X \leq x | y < Y \leq y + \epsilon \right \} =&\frac {\int_{-\infty}^{x} \int_{y}^{y+\epsilon}f(x,y)dydx}{\int_{y}^{y+\epsilon}f_{Y}(y) dy} \\ \approx& \int_{-\infty}^{x} \frac {f(x,y)}{f_{Y}(y) } dx \tag{4.4} \end{align}$

若存在固定的 $y$ 值， $f_Y(y)>0$ 在条件 $Y=y$ 情况下 $X$ 的概率密度为：
$\begin{align} f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)} \tag{4.5-1} \end{align}$
若存在固定的 $y$ 值， $f_Y(y)>0$ 在条件 $Y=y$ 情况下 $X$ 的分布函数为：
$\begin{align} f_{X|Y}(x|y) = \int_{-\infty}^{x} \frac {f(x,y)}{f_{Y}(y) } dx \tag{4.5-2} \end{align}$
若存在固定的 $x$ 值， $f_X(x)>0$ 在条件 $X=x$ 情况下 $Y$ 的概率密度为：
$\begin{align} f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)} \tag{4.6-1} \end{align}$
若存在固定的 $x$ 值， $f_X(x)>0$ 在条件 $X=x$ 情况下 $Y$ 的分布函数为：
$\begin{align} f_{Y|X}(y|x) = \int_{-\infty}^{y} \frac {f(x,y)}{f_{X}(x) } dy \tag{4.6-2} \end{align}$

相互独立的随机变量

设 $F(x,y),F_X(x), F_Y(y)$ 分别是二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数、边缘分布函数，则对于所有的 $x,y$ 都有：
$\begin{align} P \left \{ X \leq x , Y \leq y \right \}=&P \left \{ X \leq x \right \} P \left \{ Y \leq y \right \} \\ F(x,y)=& F_X(x)F_Y(y) \tag{5.1} \end{align}$
则两个随机变量是相互独立的。

最后编辑于：2019.05.04 14:29:55

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