LeetCode_343：数字划分问题(递归+动态+数学)

题目描述

原题地址：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

解法1——递归

递归的思路无非就是自顶向上，很容易想出来，代码如下

//递归-自顶向下
public static int integerBreak(int n) {
    return dfs(n);
}

public static int dfs(int n){
    if(n == 1 || n == 2){
        return 1;
    }
    int res = 0;
    for(int i = 1;i < n;i++){
        res = Math.max(res,Math.max(i * dfs(n - i),i * (n - i)));
    }
    return res;
}

这种方法虽然比较容易想出来，但是中间重复计算的非常多，实际在LeetCode中不能AC。

解法2——动态规划

动态规划那么就是自底向上的方法，根据上一步的递归，状态转移方程为
$dp[i] = \max(dp[i],\max(j*dp[i-j],j*(i-j)))$
其中， $j$ 为区间 $[1,i-1]$ 之间的数。

//动态规划-自下向上
public static int integerBreak2(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[2] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        for(int j = 1;j <= i - 1;j++){
            dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j * dp[i - j],j * (i - j)));
        }
    }
    return dp[n];
}

解法3——数学分析

根据高中学习的均值不等式，可以得到
$n= \frac{a_1+a_2+...+a_m}{m} \ge \sqrt[m]{a_1a_2...a_m}$
设 $a_1=a_2=...=a_m=x$ ，那么目标积为
$f(x)=x^{ \frac{m}{x}}$
对上述函数求导数，可以得到
$f'(x)=m(1- \ln{x})x^{ \frac{n}{x}-2}$
当 $x=e=2.71828...$ 时取得最大值，那么离 $e$ 最近的两个整数为2和3，下面再来考虑时选择3还是选择2。

假设一个数 $n=3x+2y$ ，则乘积为 $f=3^x2^y=3^x2^{ \frac{n-3x}{2}}$ ,对其两边取对数可以得到
$\ln f=x \ln{3}+\frac{n-3x}{2} \ln{2}=(\ln{3}-\frac{3}{2}\ln{2})x+\frac{n}{2}\ln{2}$
由于 $(\ln{3}-\frac{3}{2}\ln{2}) > 0$ ，所以是 $x$ 越大越好，所以应该尽可能的多取3.


//数学方法
public static int integerBreak3(int n){
    if(n == 2){
        return 1;
    }
    if(n == 3){
        return 2;
    }
    int res = 1;
    while(n > 4){
        res *= 3;
        n -= 3;
    }
    return res * n;
}

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