熵(entropy)

統計學的熵(entropy)

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信息量

越不可能發生的事件信息量越大，例如“地球在2016年會爆炸”這句話信息量就很大。而確定事件的信息量就很小，例如“我媽是女的”，信息量就很低甚至為0。

  • 信息量計算
    例如有一枚作弊的銅板，擲中正面的機率是90%我們稱為事件A，擲中背面的機率是10%我們稱為事件B。
    發生事件A的信息量為-log(0.1)=1.0000，發生機率低，信息量很大。
    發生事件B的信息量為-log(0.9)=0.0457，發生機率高，信息量很小。

熵(entropy)

熵(entropy)代表信息量的期望值，代表不確定度，熵在熱力學中也代表亂度。

1.離散型隨機變量

建議看一下期望值、二項分佈對理解entropy以及Logistic Regression會有幫助。
對數所使用的底，通常是2,自然常數e，或是10。當b = 2，熵的單位是bit；當b = e，熵的單位是nat；而當b = 10,熵的單位是Hart。

  • 離散型隨機變量的期望值
  • 熵計算
  1. 例如有一枚作弊的銅板，擲中正面的機率是90%我們稱為事件A，擲中背面的機率是10%我們稱為事件B。
    發生事件A的信息量為-log(0.1)=1.0000，發生機率低，信息量很大。
    發生事件B的信息量為-log(0.9)=0.0457，發生機率高，信息量很小。
    擲這枚銅板的熵:H(X)=0.1*1+0.9*0.0457=0.1412
    不確定度越低熵越小，我們可以很確定會擲中正面。
  2. 例如有一枚正常的銅板，擲中正面的機率是50%我們稱為事件A，擲中背面的機率是50%我們稱為事件B。
    發生事件A的信息量為-log(0.5)=0.3010
    發生事件B的信息量為-log(0.5)=0.3010
    擲這枚銅板的熵:H(X)=0.5*0.3010+0.5*0.3010=0.3010
    不確定度越高熵越大，我們很難確定會擲中正面或反面。

2.連續型隨機變量

連續型隨機變量求熵則求積分。

交叉熵

H(p||q) = \sum_{x∈X}^{ }p\left(x\right) \cdot \log\left(\frac{1}{q\left(x\right)}\right)
= -\sum_{x∈X}^{ }p\left(x\right) \cdot \log \left({q \left(x \right)}\right)

KL散度(相對熵)

KL散度是用來衡量兩個事件/分佈之間的不同，記為D_{KL}(p||q)。
定義：0\log\left(\frac{0}{0}\right)=0,0\log\left(\frac{0}{q}\right)=0,p\log\left(\frac{p}{0}\right)=∞
D_{KL}(p||q)=\sum_{x∈X}^{ }p\left(x\right) \cdot \log\left(\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}\right)
=\sum_{x∈X}^{ }p(x)\cdot\log\left(p\left(x\right)\right)-q\left(x\right)\cdot\log\left(p\left(x\right)\right)
= -H(p)-q \left(x\right)\cdot\log\left(p\left(x\right)\right)
p = q時，即兩個事件分佈完全相同，那麼KL散度等於0。

交叉熵與相對熵

交叉熵+\sum_{x∈X}p(x) \cdot log(p(x))=相對熵=交叉熵+(-熵)
\sum_{x∈X}^{ }p\left(x\right) \cdot \log\left(\frac{1}{q\left(x\right)}\right)+p(x) \cdot log(p(x))=\sum_{x∈X}^{ }p\left(x\right) \cdot \log\left(\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}\right)

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