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一、自然底数的定义
在极限章节的第一节中，我们讨论了银行利息问题，发现函数%3D(1%2B1%2Fx)%5Ex)
在
趋近于一个约为
的数。我们定义这个数为自然底数，符号记作
，即%5Ex%7D%3D%5Clim_%7B%7Bx%5Crightarrow0%7D%5E%2B%7D%7B(1%2Bx)%5E%7B1%2Fx%7D%7D)
这就是自然底数的定义。
有了自然底数便有自然对数
：
二、等价法中的自然底数
在极限章节的等价法中，我们提到
与%7D)
均为
的等阶无穷小，下面我们来体会一下。![\lim_{x\rightarrow0}{\frac{e^x-1}x}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\left[(1+x)^{1/x}\right]^x-1}x}=\frac{1+x-1}x=1](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow0%7D%7B%5Cfrac%7Be%5Ex-1%7Dx%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow0%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cleft%5B(1%2Bx)%5E%7B1%2Fx%7D%5Cright%5D%5Ex-1%7Dx%7D%3D%5Cfrac%7B1%2Bx-1%7Dx%3D1)
又因为%7D%7D-1%3Dx)
，所以%7D%7Dx%7D%3D1)
。
上面这个证明方法非常不严谨，因为将定义中的与极限式的混为一谈了，实际为两个独立的变量。在积分那一章中会讲述的另外一个定义以及更严谨的证明方法。
三、与自然底数相关的公式
的麦克劳林展开：)
的麦克劳林展开：%7D%3Dx-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D2%2B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D3-%5Cfrac%7Bx%5E4%7D4%2B%5Cdots%2B(-1)%5E%7Bn-1%7D%5Ccdot%5Cfrac%7Bx%5En%7Dn%2Bo(x%5En))
利用这两个麦克劳林展开也可以证明、为的等阶无穷小，因为)
，%7D%3Dx%2Bo(x))
。
麦克劳林展开会在求导章节中具体阐述。
四、自然底数的重要意义
自然底数的意义就在于对对数的简化。任何对数都能化为自然对数，即
并且自然对数在求导时非常简洁
的幂函数在求导时也很简洁
同时，自然底数还应用与欧拉公式
因此，自然底数具有不可替代的价值。
