自然底数篇

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一、自然底数的定义

在极限章节的第一节中，我们讨论了银行利息问题，发现函数f(x)=(1+1/x)^x在x\rightarrow+\infty趋近于一个约为2.7的数。我们定义这个数为自然底数，符号记作e，即e=\lim_{x\rightarrow+\infty}{\left(1+\frac1x\right)^x}=\lim_{{x\rightarrow0}^+}{(1+x)^{1/x}}这就是自然底数的定义。

有了自然底数便有自然对数\ln：\ln x=\log_ex

二、等价法中的自然底数

在极限章节的等价法中，我们提到e^x-1与\ln{(x+1)}均为x的等阶无穷小，下面我们来体会一下。\lim_{x\rightarrow0}{\frac{e^x-1}x}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\left[(1+x)^{1/x}\right]^x-1}x}=\frac{1+x-1}x=1又因为e^{\ln{(x+1)}}-1=x，所以\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\ln{(x+1)}}x}=1。

上面这个证明方法非常不严谨，因为将e定义中的x与极限式的x混为一谈了，实际为两个独立的变量。在积分那一章中会讲述e的另外一个定义以及更严谨的证明方法。

三、与自然底数相关的公式

e^x的麦克劳林展开：e^x=1+\frac x{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)

\ln{(x+1)}的麦克劳林展开：\ln{(x+1)}=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\dots+(-1)^{n-1}\cdot\frac{x^n}n+o(x^n)

利用这两个麦克劳林展开也可以证明e^x-1、\ln{(x+1)}为x的等阶无穷小，因为e^x-1=x+o(x)，\ln{(x+1)}=x+o(x)。

麦克劳林展开会在求导章节中具体阐述。

四、自然底数的重要意义

自然底数的意义就在于对对数的简化。任何对数都能化为自然对数，即\log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}并且自然对数在求导时非常简洁\frac{\rm d}{{\rm d}x}\ln x=\frac1x e的幂函数在求导时也很简洁\frac{\rm d}{{\rm d}x}e^x=e^x同时，自然底数还应用与欧拉公式e^{ix}=i\sin x+\cos x因此，自然底数具有不可替代的价值。

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