第十二讲转动定律英才班by赵常青

转动定律

知识点

类比法理解牛顿第二定律和转动定律
- $\frac{d \vec{L}}{dt}=\frac{d(\vec{r}+\vec{p})}{dt}=\frac{d \vec{r}}{dt} \times\vec{p}+\vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{dt} =\vec{v} \times m \vec{v}+\vec{r} \times \vec{F}$
单个刚体的转动
- 转动惯量 $J$ 为常量
- 加速度 $\alpha =\frac{M}{J}=\frac{r F \sin \theta}{J}$
- $\frac{L}{dt}=J\frac{d \omega}{dt}=M=J \alpha$
转动、平动组合体：
- 先根据隔离法对各个物件进行简单的受力分析；
- 对平动的物件(记为 $i$ )按照牛顿第二定律 $F_{i}=m_{i}a_{i}$ 列方程；
- 对转动的物件(记为 $j$ )按照转动定律 $M_{j}=I_{j}\alpha_{j}$ 列方程；
- 根据约束条件列方程。

表达题

转动定律请与平动进行“类比”理解。平动有 $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$ ， $a=\frac{F}{m}$ ，那么转动定律的公式是

解答： $\frac{L}{dt}=M=J \alpha$ , $\alpha =\frac{M}{J}$

均匀细棒左端固定。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，当下落至图示位置时，角加速度是多少？

解答：

IMG_20190316_195416.jpg

重滑轮，半径为R，质量为M，转动惯量为 $\frac{1}{2}MR^{2}$ 。今两端的拉力分别为 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ ，且约定角动量的方向垂直于纸面向外为正，则该滑轮的角加速度是多少？

解答：

IMG_20190316_200406.jpg

一质量为 $m$ 的小球以 $v_{0}$ 的速率沿 $x$ 轴前进，在恒定的摩擦力的作用下， $\Delta t$ 时间内正好停止运动，则该摩擦力的大小为( )。一飞轮以 $\omega_{0}$ 的转速旋转，转动惯量为 $I$ ，现加一恒定的制动力矩使飞轮在 $\Delta t$ 时间内停止转动，则该恒定制动力矩的大小为：

解答：由 $Ft=mv$ 得： $f=\frac{mv_0}{t}$

$M_{制动力}=-M_0=-I \frac{d \omega_0}{d\Delta t}$

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101005.png

则对 $M$ 列方程，有如下可能的方程

(1) $FR-TR=\frac{1}{2}MR^{2}\cdot\alpha$ (方向)

(2) $FR+TR=\frac{1}{2}MR^{2}\cdot\alpha$

对 $m$ 列方程，有如下列法

(3) $T-mg=m\cdot a$

(4) $mg-T=m\cdot a$

对约束方程，有如下列法

(5) $a=R\alpha$ $\frac{dv}{dt}=\frac{d\omega R}{dt}$

(6) $a=R\alpha^{2}$

以上正确的是

解答：（1）、（2）、（3）

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101006.png

解答：

则对 $M$ 列方程：

$T_1R-T_2R=J \alpha$

对 $m_{1}$ 列方程：

$m_1g-T_1=m_1a$

对 $m_{2}$ 列方程：

$T_2-m_2g=m_2a$

约束方程：

$R \omega=v$ 得 $R \alpha=a$

$F-T=\frac{J\alpha}{R}$

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101007.png

则对 $M_{1}$ 列方程，有如下可能的方程

$(T_1-T_2)R_1=J \alpha_1$

对 $M_{2}$ 列方程，有如下可能的方程

$(T_2-T_3)R_2=J \alpha_2$

对 $m_{3}$ 列方程，有如下列法

$m_3-T_1=m_3a_3$

对 $m_{4}$ 列方程，有如下列法

$m_4-T_3=m_4a_3$

对约束方程，有如下列法

$R\alpha_1=a_3$ $R\alpha_2=a_4$

$T_1-T_2=\frac{J\alpha_1}{R_1}$

$T_2-T_3=\frac{J\alpha_2}{R_2}$

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101008.png

则对 $M$ 列方程，有如下可能的方程

$(T_2-T_1)R=J \alpha$

对 $m_{1}$ 列方程，有如下列法

$T_1-\mu m_1g=m_1a$

对 $m_{2}$ 列方程，有如下列法

$mg-T_2=m_2a$

对约束方程，有如下列法

$R \alpha=a$

$T_2-T_1=\frac{J\alpha}{R}$

最后编辑于：2019.03.17 17:05:07

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