第一章第13题：至少一人手中有两张A的概率

例：一副牌有52张，其中4张A，随机地把这副牌分给3个玩家，每人5张，求至少有一个人手中的5张牌刚好有2张是A的概率。

分析：样本空间
$\Omega=\{a_1a_2a_3a_4a_5,b_1b_2b_3b_4b_5,c_1c_2c_3c_4c_5\}$
其中 $a_i,b_i,c_i(i=1,2,…,5)$ 代表1到52的某个数字（每个数字对应一张扑克牌），且相互不重复。本问题可以看成一个无放回的抽样：分三次抽，每次抽出5张。若不考虑每个玩家手上的牌的排列顺序，则总点数为 $C_{52}^{5}C_{47}^5C_{42}^5$ .

设

事件 $B_j(j=1,2,3)$ 表示玩家 $j$ 手中没有A
事件 $C_j(j=1,2,3)$ 表示玩家 $j$ 的手中恰有1张A
事件 $E_j(j=1,2,3)$ 表示玩家 $j$ 手上至少有两张A，显然 $E_j=\overline{B_j\cup C_j}$
事件 $D$ 表示至少某个玩家手中有两张A，则

$\begin{aligned} D &=\overline{ (B_1 \cup C_1) \cap(B_2\cup C_2)\cap(B_3\cup C_3) }\\ &=\left(\overline{B_1\cup C_1} \right) \cup\left(\overline{B_2\cup C_2}\right) \cup\left(\overline{B_3\cup C_3}\right)\\ &=E_1\cup E_2\cup E_3 \end{aligned}$

注意到 $B_j,C_j$ 互不相容，故

$\begin{aligned} P(E_j) & =1-P(B_j\cup C_j)=1-P(B_j)-P(C_j)\\ & =1 - \frac {C_{48}^5 C_{47}^5 C_{42}^5} {C_{52}^{5}C_{47}^5C_{42}^5} -\frac{C_4^1C_{48}^4C_{47}^5C_{42}^5} {C_{52}^{5}C_{47}^5C_{42}^5}\\ & = 1-\frac{C_{48}^5+C_4^1C_{48}^4} {C_{52}^5} = \frac{2257}{54145} \end{aligned}$

事件 $E_1E_2$ 表示玩家 $1,2$ 手上各有两张A，从而可知
$P(E_1E_2)=\frac{C_4^2C_{48}^3C_2^2C_{45}^3C_{42}^5}{C_{52}^{5}C_{47}^5C_{42}^5} =\frac{4}{10829}$
同理

$P(E_2E_3)=P(E_3E_1)=\frac{4}{10829}$

事件 $E_1E_2E_3$ 是不可能事件（因为不可能每个玩家手上都至少有2张A），故

$P(E_1E_2E_3)=0.$

至此，利用挖补公式
$\begin{aligned} P(D)=&P(E_1)+P(E_2)+P(E_3)\\ &-P(E_1E_2)-P(E_2E_3)-P(E_3E_1)\\ &+P(E_1E_2E_3)\\ =&3\left(\frac{2257}{54145}-\frac{4}{10829}\right)\\ =&\frac{6711}{54145}\approx 0.123945 \end{aligned}$