深入理解计算机系统（原书第3版）- 第2章信息的表示和处理笔记

2.1 信息存储

1字节（byte）= 8位（bit）

2.1.1 十六进制表示法

十六进制（简写为"hex"）使用数字 '0' ~ '9' 以及字符 'A' ~ 'F' 来表示。
1 个十六进制数表示 4 个二进制数。
当 x=2ⁿ 时，很容易将 x 写成十六进制形式，x 的二进制表示就是 1 后面跟 n 个 0 。十六进制数字 0 代表 4 个二进制 0。所以，当 n 表示成 i+4j 的形式，其中 0 ≦ i ≦ 3，x 开头十六进制为1(i=0)、2(i=1)、4(i=2)、8(i=3)，后面跟随 j 个十六进制的 0。

2.1.2 字数据大小

C声明	C声明	字节数	字节数
有符号	无符号	32位	64位
[signed] char	unsigned char	1	1
short	unsigned short	2	2
int	unsigned	4	4
long	unsigned long	4	8
int32_t	uint32_t	4	4
int64_t	uint64_t	8	8
char *		4	8
float		4	4
double		8	8

2.1.3 寻址和字节顺序

最低有效字节在最前面的方式，为小端法(little endian)。
最高有效字节在最前面的方式，为大端法(big endian)——与书写习惯一致。

假设变量 x 的类型为 int，位于地址 0x100 处，它的十六进制值为 0x01234567。地址范围 0x100〜0x103 的字节顺序依赖于机器的类型：
注意，在字 0x01234567 中，高位字节的十六进制值为 0x01，而低位字节值为 0x67。

// 判断大小端
int is_little_endian(void) {
    int i = 0xff;
    unsigned char *p = &i;
    return p[0] == 0xff;
}

2.1.4 表示字符串

C语言中字符串被编码为一个以null（其值为0）字符结尾的字符数组。
字母 'a' ~ 'z' 的 ASCII 码为 0x61 ~ 0x7A。

2.1.5 表示代码

不同的机器类型使用不同的且不兼容的指令和编码方式。

2.1.6 布尔代数简介

1 为 true（真）
0 为 false（假）
图2-7↓ 布尔代数的运算。二进制值 1 和 0 表示逻辑值 TRUE 或者 FALSE ，而运算符〜、&、丨和 ^ 分别表示逻辑运算 NOT、 AND、OR 和 EXCLUSIVE-OR

可以将上述 4 个布尔运算扩展到位向量的运算，位向量就是固定长度为 W 、由 0 和 1 组成的串。位向量的运算可以定义成参数的每个对应元素之间的运算。
举个例子，假设 w=4 ，参数 a = [0110] ，b=[1100]。那么 4 种运算a&b、a|b、a^b 和〜b 分别得到以下结果：

2.1.7 C语言中的位级运算

C的表达式	二进制表达式	二进制结果	十六进制结果
~0x41	~[0100 0001]	[1011 1110]	0xBE
~0x00	~[0000 0000]	[1111 1111]	0xFF
0x69&0x55	[0110 1001]&[0101 0101]	[0100 0001]	0x41
0x69\|0x55	[0110 1001]\|[0101 0101]	[0111 1101]	0x7D

位级运算的一个常见用法就是实现掩码运算，这里掩码是一个为模式，表示从一个字中选出的位的集合。
如：x = 0x89ABCDEF，x&0xFF = 0x000000EF
表达式 ~0 将生成一个全 1 的掩码，不管机器的字大小是多少。

2.1.8 C语言中的逻辑运算

|| OR 或
&& AND 与
! NOT 非

表达式	结果
!0x41	0x00
!0x00	0x01
!!0x41	0x01
0x69&&0x55	0x01
0x69\|\|0x55	0x01

如果对第一个参数求值就能确定表达式的结果，那么逻辑运算符就不会对第二个参数求值。

2.1.9 C语言中的位移运算

左移：x<<k，x向左移动k位，丢弃最高的k位，并在右端补k个0。移位量应该是一个0~w-1之间的值。
逻辑右移：x>>k，在左端补k个0。
算术右移：x>>k，在左端补k个最高有效位的值。

2.2 整数表示

数学术语
下标w表示数据表示中的位数

符号	类型	含义
$B2T_w$	函数	二进制转补码
$B2U_w$	函数	二进制转无符号数
$U2B_w$	函数	无符号数转二进制
$U2T_w$	函数	无符号转补码
$T2B_w$	函数	补码转二进制
$T2U_w$	函数	补码转无符号数
$TMin_w$	常数	最小补码值
$TMax_w$	常数	最大补码值
$UMax_w$	常数	最大无符号数
$+_w^t$	操作	补码加法
$+_w^u$	操作	无符号数加法
$*_w^t$	操作	补码乘法
$*_w^u$	操作	无符号数乘法
$-_w^t$	操作	补码取反
$-_w^u$	操作	无符号数取反

2.2.1 整型数据类型

32位程序上C语言整型数据类型的典型取值范围

C数据类型	最小值	最大值
[signed]char	-128	127
unsigned char	0	255
short	-32 768	32 767
unsigned short	0	65 535
int	-2 147 483 648	2 147 483 647
unsigned	0	4 294 967 295
long	-2 147 483 648	2 147 483 647
unsigned long	0	4 294 967 295
int32_t	-2 147 483 648	2 147 483 647
uint32_t	0	4 294 967 295
int64_t	-9 223 372 036 854 775 808	9 223 372 036 854 775 807
uint_64_t	0	18 446 744 073 709 551 615

64位程序上C语言整型数据类型的典型取值范围

C数据类型	最小值	最大值
[signed]char	-128	127
unsigned char	0	255
short	-32 768	32 767
unsigned short	0	65 535
int	-2 147 483 648	2 147 483 647
unsigned	0	4 294 967 295
long	-9 223 372 036 854 775 808	9 223 372 036 854 775 807
unsigned long	0	18 446 744 073 709 551 615
int32_t	-2 147 483 648	2 147 483 647
uint32_t	0	4 294 967 295
int64_t	-9 223 372 036 854 775 808	9 223 372 036 854 775 807
uint_64_t	0	18 446 744 073 709 551 615

C语言的整型数据类型的保证的取值范围

C数据类型	最小值	最大值
[signed]char	-127	127
unsigned char	0	255
short	-32 767	32 767
unsigned short	0	65 535
int	-32 767	32 767
unsigned	0	65 535
long	-2 147 483 647	2 147 483 647
unsigned long	0	4 294 967 295
int32_t	-2 147 483 648	2 147 483 647
uint32_t	0	4 294 967 295
int64_t	-9 223 372 036 854 775 808	9 223 372 036 854 775 807
uint_64_t	0	18 446 744 073 709 551 615

2.2.2 无符号数的编码

无符号数编码的定义
对向量 $\vec{x}=[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0]:$
$B2U_w(\vec{x}) \doteq \sum_{i=0}^{w-1}x_i2^i$

$B2U_4([0001]) = 0 · 2^3 + 0 · 2^2 + 0 · 2^1 + 1 · 2^0 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$
$B2U_4([0101]) = 0 · 2^3 + 1 · 2^2 + 0 · 2^1 + 1 · 2^0 = 0 + 4 + 0 + 1 = 5$
$B2U_4([1011]) = 1 · 2^3 + 0 · 2^2 + 1 · 2^1 + 1 · 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$
$B2U_4([1111]) = 1 · 2^3 + 1 · 2^2 + 1 · 2^1 + 1 · 2^0 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15$

最大值是用位向量[11...1]表示
$UMax_w \doteq \sum_{i=0}^{w-1}2^i = 2^w - 1$
以4位情况为例，
$UMax_4 = B2U_4([1111]) = 2^4 - 1 = 15$

2.2.3 补码编码

补码编码的定义
对向量 $\vec{x}=[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0]:$
$B2T_w(\vec{x}) \doteq -x_{w-1}2^{w-1}+ \sum_{i=0}^{w-2}x_i2^i$

$B2T_4([0001]) = - 0 · 2^3 + 0 · 2^2 + 0 · 2^1 + 1 · 2^0 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$
$B2T_4([0101]) = - 0 · 2^3 + 1 · 2^2 + 0 · 2^1 + 1 · 2^0 = 0 + 4 + 0 + 1 = 5$
$B2T_4([1011]) = - 1 · 2^3 + 0 · 2^2 + 1 · 2^1 + 1 · 2^0 = - 8 + 0 + 2 + 1 = - 5$
$B2T_4([1111]) = - 1 · 2^3 + 1 · 2^2 + 1 · 2^1 + 1 · 2^0 = - 8 + 4 + 2 + 1 = - 1$

最小值是用位向量[10...0]表示
（也就是设置这个位为负权，但是清除其他所有的位）
$TMin_w \doteq -2^{w-1}$
以4位情况为例，
$TMin_4 = B2T_4([1000]) = -2^3 = -8$

最大值是用位向量[01...1]表示
（清除具有负权的位，而设置其他所有的位）
$TMax_w \doteq \sum_{i=0}^{w-2}2^i = 2^{w-1} - 1$
以4位情况为例，
$TMax_4 = B2T_4([0111]) = 2^2 + 2^1 + 2^0 = 4 + 2 + 1 = 7$

注意：
1、补码的范围是不对称的：|TMin| = |TMax| + 1 ，也就是说，TMin没有与之对应的正数。
2、最大的无符号数值刚好比补码的最大值的两倍大一点： $UMax_w = 2TMax_w + 1$
3、-1 和 UMax 有同样的位表示——一个全 1 的串，数值 0 在两种表示方式中都是全 0 的串。

2.2.4 有符号数和无符号数之间的转换

补码转换为无符号数

对满足 $TMin_w \leq x \leq TMax_w$ 的 $x$ 有：
$T2U_w (x)=\begin{cases} x + 2^w ,\quad x < 0 \\ x,\qquad\quad\ x \geq 0 \end{cases}$
比如， $T2U_w(-12345)=-12345+2^{16}=53191$ ，同时 $T2U_w(-1)=-1+2^w=UMax_w$

推导：补码转换为无符号数
$B2U_w(T2B_w(x))=T2U_w(x)=x+x_{w-1}2^w$
根据上个公式的两种情况，在 $x$ 的补码表示中，位 $x_{w-1}$ 决定了 $x$ 是否为负。

无符号数转换为补码
对满足 $0 \leq x \leq UMax_w$ 的 $\ u\$ 有：
$U2T_w (u)=\begin{cases} u ,\qquad\quad\ u \leq TMax_w \\ u-2^w ,\quad u > TMax_w \end{cases}$

推导：无符号数转换为补码
$U2T_w(u)=-u_{w-1}2^w+u$
在u的无符号表示中，对上个公式的两种情况来说，位 $u_{w-1}$ 决定了 u 是否大于 $TMax_w=2^{w-1}-1$

2.2.5 C语言中的有符号数与无符号数

C语言支持所有整型数据类型的有符号和无符号运算。尽管C语言标准没有指定有符号数要采用某种表示，但是几乎所有机器都使用补码。通常，大多数数字都默认为是有符号的。要创建一个无符号常量，必须加上后缀字符 'U' 或者 'u' 。
C语言无符号数和有符号数之间的转换，一般原则是底层的位表示保持不变。
当执行一个运算时，如果它的一个运算数是有符号的而另一个是无符号的，那么C语言会隐式地将有符号参数强制类型转换为无符号数，并假设这两个数都是非负的，来执行这个运算。
C语言中TMin的写法
定义在头文件 limits.h 中

#define INT_MAX 2147483647
#define INT_MIN (-INT_MAX - 1)

2.2.6 扩展一个数字的位表示

要将一个无符号数转换为一个更大的数据类型，在开头添加0，这种运算被称为零扩展(zero extension)。
要将一个补码数字转换为一个更大的数据类型，可以执行一个符号扩展(sign extension)，在表示中添加最高有效位的值。

2.2.7 截断数字

无符号数的截断结果是：
$B2U_k[x_{k-1},x_{k-2},...,x_0]=B2U_w([x_{w-1},x_{w-2},...,x_0])\ mod\ 2^k$
补码数字的截断结果是：
$B2T_k[x_{k-1},x_{k-2},...,x_0]=U2T_k(B2U_w([x_{w-1},x_{w-2},...,x_0]))\ mod\ 2^k$

2.2.8 关于有符号数与无符号数的建议

有符号数到无符号数的隐式转换，是会导致错误或者漏洞的方式，避免这类错误的一种方法就是绝不使用无符号数。

2.3 整数运算

2.3.1 无符号加法

将操作 $+_w^u$ 描述为无符号数加法
对满足 $0 \leq x，y \leq 2^w$ 的 $\ x\$ 和 $\ y\$ 有：
$x+_w^uy=\begin{cases} x+y ,\qquad\quad\ x+y<2^w \qquad\qquad\ 正常 \\ x+y-2^w ,\quad 2^w \leq x+y \leq 2^{w+1} \quad 溢出 \end{cases}$

检测无符号数加法中的溢出
对在范围 $0 \leq x，y \leq UMax_w$ 中的 $\ x\$ 和 $\ y\$ ，令 $s \doteq x+_w^uy$ 。则对计算 $s$ ，当且仅当 $s < x$ （或者等价地 $s < y$ ）时,发生了溢出。

阿贝尔群
每个元素有一个加法逆元。考虑 w 位的无符号数的集合，执行加法运算 $+_w^u$ 。对于每个值 x，必然有某个值 $-_w^ux$ 满足 $-_w^ux+_w^ux=0$ 。
无符号数求反
对满足 $0 \leq x < 2^w$ 的任意 $x$ ，其 $w$ 位的无符号逆元 $-_w^ux$ 由下式给出：
$-_w^ux =\begin{cases} x ,\qquad\quad\ x=0 \\ 2^w - x ,\quad x>0 \end{cases}$

2.3.2 补码加法

对满足 $-2^{w-1} \leq x,y \leq 2^{w-1}-1$ 之内的整数 $x$ 和 $y$ ，有：
$x+_w^ty =\begin{cases} x + y - 2^w ,\quad 2^{w-1} \leq x + y \qquad\qquad\ \ \ 正溢出 \\ x + y ,\qquad\quad -2^{w-1} \leq x + y \leq 2^{w-1} \quad 正常 \\ x + y + 2^w ,\quad x + y < -2^{w-1} \qquad\qquad 负溢出 \end{cases}$

两个数的 $w$ 位补码之和有完全相同的位级表示。我们可以按如下步骤表示运算 $+_w^t$ ：将其参数转换为无符号数，执行无符号数加法，再将结果转换为补码：
$x+_w^ty \doteq U2T_w(T2U_w(x)+_w^uT2U_w(y))$

检测补码加法中的溢出
对满足 $TMin_w \leq x，y \leq TMax_w$ 的 $x$ 和 $y$ ，令 $s \doteq x +_w^t y$ 。当且仅当 $x>0，y>0$ ，但 $s \leq 0$ 时，计算 $s$ 发生了正溢出。当且仅当 $x<0，y<0$ ，但 $s \geq 0$ 时，计算 $s$ 发生了负溢出。

2.3.3 补码的非

可以看到范围在 $TMin_w \leq x \leq TMax_w$ 中的每个数字 $x$ 都有 $+_w^t$ 下的加法逆元，我们将 $-_w^tx$ 表示如下：
对满足 $TMin_w \leq x \leq TMax_w$ 的 $x$ ，其补码的非 $-_w^t$ 由下式给出
$-_w^tx =\begin{cases} TMin_w ,\quad x=TMin_w \\ -x ,\qquad\quad x>TMin_w \end{cases}$
也就是说，对 $w$ 位的补码加法来说， $TMin_w$ 是自己的加法的逆，而对其他任何数值 $x$ 都有 $-x$ 作为其加法的逆。

补码非的位级表示
计算一个位级表示的值的补码非有几种聪明的方法。
1、执行位级补码非的第一种方法是对每一位求补，再对结果加1。在C语言中，我们可以说，对于任意整数值 x ，计算表达式 -x 和 ~x+1 得到的结果完全一样。
2、计算一个数 x 的补码非的第二种方法是建立在将位向量分为两部分的基础之上的。假设 $k$ 是最右边的 1 的位置，因而 $x$ 的位级表示形如 $[x_{w-1},x_{w-2},...,x_{k+1},1,0,...,0]$ 。(只要 $x \ne 0$ 就能够找到这样的 $k$ 。）这个值的非写成二进制格式就是 $[~x_{w-1},~x_{w-2},...,~x_{k+1},1,0,...,0]$ 。也就是，我们对位 $k$ 左边的所有位取反。

2.3.4 无符号乘法

对满足 $0 \leq x,y \leq UMax_w$ 的 $x$ 和 $y$ 有：
$x *_w^u y = (x \cdot y) \ mod\ 2^w$

2.3.5 补码乘法

对满足 $TMin_w \leq x,y \leq TMax_w$ 的 $x$ 和 $y$ 有：
$x *_w^t y = U2T_w((x \cdot y) \ mod\ 2^w)$
对于无符号和补码乘法来说，乘法运算的位级表示都是一样的。

2.3.6 乘以常数

乘以 2 的幂
设 $x$ 为位模式 $[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0]$ 表示的无符号整数。那么，对于任何 $k \geq 0$ ，我们都认为 $[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0,0,...,0]$ 给出了 $x2^k$ 的 $w + k$ 位的无符号表示，这里右边增加了 $k$ 个 0 。

与 2 的幂相乘的无符号乘法
C 变量 x 和 k 有无符号数值 $x$ 和 $k$ ，且 $0 \leq k < w$ ，则 C 表达式 x<<k 产生数值 $x *_w^u 2^k$ 。

与 2 的幂相乘的补码乘法
C 变量 x 和 k 有补码值 $x$ 和无符号数值 $k$ ，且 $0 \leq k < w$ ，则 C 表达式 x<<k 产生数值 $x *_w^t 2^k$ 。

由于整数乘法比移位和加法的代价要大得多，许多 C 语言编译器试图以移位、加法和减法的组合来消除很多整数乘以常数的情况。
对于某个常数 K 的表达式 x * K 生成代码。编译器会将 K 的二进制表示表达为一组 0 和 1 交替的序列：
$[(0...0)(1...1)(0...0)...(1...1)]$
考虑一组从位位置 n 到位位置 m 的连续的 1(n $\geq$ m)。我们可以用下面两种不同形式中的一种来计算这些位对乘积的影响：
形式A：(x<<n)+(x<<(n-1)+...+(x<<m)
形式B：(x<<(n+1))-(x<<m)
把每个这样连续的 1 的结果加起来，不用做任何乘法，我们就能计算出 x * K 。

2.3.7 除以 2 的幂

整数除法要比整数乘法更慢。除以 2 的幂也可以用移位运算来实现。无符号和补码数分别使用逻辑移位和算术移位来达到目的。
整数除法总是舍入到零。它将 $\lfloor$ 向下 $\rfloor$ 舍入一个正值，而 $\lceil$ 向上 $\rceil$ 舍入一个负值。
除以 2 的幂的无符号除法
C 变量 x 和 k 有无符号数值 $x$ 和 $k$ ，且 $0 \leq k < w$ ，则 C 表达式 x >> k 产生数值 $\lfloor x/2^k \rfloor$ 。

除以 2 的幂的补码除法，向下舍入
C 变量 x 和 k 有补码值 $x$ 和无符号数值 $k$ ，且 $0 \leq k < w$ ，则当执行算术位移时， C 表达式 x >> k 产生数值 $\lfloor x/2^k \rfloor$ 。
对于负数来说，向下舍入结果会有偏差。

除以 2 的幂的补码除法，向上舍入
C 变量 x 和 k 有补码值 $x$ 和无符号数值 $k$ ，且 $0 \leq k < w$ ，则当执行算术位移时， C 表达式 (x+(1<<k)-1) >> k 产生数值 $\lfloor x/2^k \rfloor$ 。

2.3.8 关于整数运算的最后思考

计算机执行的“整数”运算实际上是一种模运算形式。
表示数字的有限字长限制了可能的值的取值范围，结果运算可能溢出。
补码表示提供了一种既能表示负数也能表示正数的灵活方法，同时使用了与执行无符号算术相同的位级实现。
无论运算数是以无符号形式还是以补码形式表示的，都有完全一样或者类似的位级行为。

2.4 浮点数

浮点表示对形如 $V = x \times 2^y$ 的有理数进行编码。它对执行涉及非常大的数字(|V|>>0)、非常接近于0(|V|<<1)的数字，以及更普遍地作为实数运算的近似值的计算，是很有用的。

2.4.1 二进制小数

形如 $b_mb_{m-1}...b_1b_0.b_{-1}b_{-2}...b_{-n+1}b_{-n}$ 的表示法，其中每个二进制数字，或者称为位， $b_i$ 的取值范围是 0 和 1 ，这种表示方法表示的数 b 定义如下：
$b = \sum_{i=-n}^{m}s^i \times b_i$
点左边的位的权是 2 的正幂，点右边的位的权是 2 的负幂。
例如， $101.11_2$ 表示数字 $1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 1 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}$ = $4 + 0 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 5 \frac{3}{4}$
形如 $0.11...1_2$ 的数表示的是刚好小于 1 的数。例如， $0.111111_2$ 表示 $\frac{63}{64}$ ，我们将用简单的表达法 $1.0-\varepsilon$ 来表示这样的数值。
定点表示法不能很有效的表示非常大的数字。

2.4.2 IEEE 浮点表示

IEEE浮点标准用 $V = (-1)^s \times M \times 2^E$ 的形式来表示一个数：

符号（sign） $s$ 决定这数是负数（ $s=1$ ）还是正数（ $s=0$ ），而对于数值 $0$ 的符号位解释作为特殊情况处理。
尾数（significand） $M$ 是一个二进制小数，它的范围是 $1 \sim 2-\varepsilon$ ，或者是 $0 \sim 1-\varepsilon$ 。
阶码（exponent） $E$ 的作用是对浮点数加权，这个权重是 $2$ 的 $E$ 次幂（可能是负数）。

将浮点数的位表示划分为三个字段，分别对这些值进行编码：

一个单独的符号位 $s$ 直接编码符号 $s$ 。
$k$ 位的阶码字段 $exp = e_{k-1}...e_1e_0$ 编码阶码 $E$ 。
$n$ 位小数字段 $frac = f_{n-1}...f_1f_0$ 编码尾数 $M$ ，但是编码出来的值也依赖于阶码字段的值是否等于 0 。

在单精度浮点格式（C 语言中的 float）中，s、exp 和 frac 字段分别为 $1$ 位、 $k=8$ 位和 $n=23$ 位，得到一个 32 位的表示。
在双精度浮点格式（C 语言中的 double）中，s、exp 和 frac 字段分别为 $1$ 位、 $k=11$ 位和 $n=52$ 位，得到一个 64 位的表示。

给定位表示，根据 exp 的值，被编码的值可以分成三种不同的情况（最后一种情况有两个变种）。图 2-33 说明了对单精度格式的情况。

情况1：规格化的值
当 exp 阶码域的位模式既不全为 0，也不全为 1 时。
阶码字段被解释为以偏置（biased）形式表示的有符号整数。阶码的值是，其中 e 是无符号数，Bias 是一个等于（单精度是127，双精度是1023）的偏置值。
小数字段 frac 被解释为描述小数值，其中，其二进制表示为，也就是二进制小数点在最高有效位的左边。
尾数定义为。这种方式叫做隐含的以 1 开头的（implied leading 1）表示，因为可以把看成一个二进制表达式为的数字。

情况2：非规格化的值
当 exp 阶码域为全 0 时，所表示的数是非规格化形式。
阶码值是 $E = 1 - Bias$
尾数的值是 $M = f$ ，也就是小数字段的值，不包含隐含的开头的1。
非规格化数有两个用途：
1.提供了一种表示数值 0 的方法。
2.表示那些非常接近于 0.0 的数。

情况3：特殊值
当 exp 阶码域全为 1时，表示特殊值。
当小数域全为 0 时，得到的值表示无穷。当 s=0 时是 $+\infty$ ，或者当 s=1 时是 $-\infty$ 。
当小数域为非零时，结果值被称为 “NaN”，即“不是一个数（Not a Number）”的缩写。

2.4.3 数字示例

图 2-35 展示了假定的 8 位浮点格式的示例，其中有 $k=4$ 的阶码位和 $n=3$ 的小数位。偏置量是 $2^{4-1}-1=7$ 。

可以观察到最大非规格化数和最小规格化数之间的平滑转变。这种平滑性归功于我们对非规格化数的 E 的定义。通过将 E 定义为 1 - Bias ，而不是 -Bias ，我们可以补偿非规格化数的尾数没有隐含的开头的 1。
假如我们将图 2-35 中的值的位表达式解释为无符号整数，它们就是按升序排列的，就像它们表示的浮点数一样。这不是偶然的——IEEE格式如此设计就是为了浮点数能够使用整数排序函数来进行排序。

图 2-36 展示了一些重要的单精度和双精度浮点数的表示和数字值。依据图 2-35 中展示的 8 位格式，我们能够看出有 k 位阶码和 n 位小数的浮点表示的一般属性。

值 +0.0 总有一个全为 0 的位表示。
最小的正非规格化值的位表示，是由最低有效位为 1 而其他所有位为 0 构成的。它具有小数（和尾数）值 $M = f = 2^{-n}$ 和阶码值 $E = -2^{k-1} + 2$ 。因此它的数字值是 $V = 2^{-n-2^{k-1}+2}$ 。
最大的非规格化值的位模式是由全为 0 的阶码字段和全为 1 的小数字段组成的。它有小数（和尾数）值 $M = f = 1 - 2^{-n}$ （我们写成 $1 - \varepsilon$ ）和阶码值 $E = -2^{k-1}+2$ 。因此，数值 $V = (1 - 2^{-n}) \times 2^{-2^{k-1}+2}$ ，这仅比最小的规格化值小一点。
最小的正规格化值的位模式的阶码字段的最低有效位为 1 ，其他位全为 0 。它的尾数值 $M=1$ ，而阶码值 $E=-2^{k-1}+2$ 。因此，数值 $V = 2^{-2^{k-1}+2}$ 。
值 1.0 的位表示的阶码字段除了最高有效位等于 0 以外，其他位都等于 1。它的尾数值是 $M=1$ ，而它的阶码值是 $E=0$ 。
最大的规格化值的位表示的符号位为 0，阶码的最低有效位等于 0，其他位等于 1。它的小数值 $f=1-2^{-n}$ ，尾数 $M=2-2^{-n}$ （我们写作 $2-\varepsilon$ ）。它的阶码值 $E=2^{k-1}-1$ ，得到数值 $V=(2-2^{-n}) \times 2^{2^{k-1}-1} = (1-2^{-n-1} \times 2^{2^{k-1}})$

整数值转换成浮点形式，相关的区域对应于整数的低位，刚好在等于 1 的最高有效位之前停止（这个位就是隐含的开头的位 1），和浮点表示的小数部分的高位是相匹配的。

2.4.4 舍入

因为表示方法限制了浮点数的范围和精度，所以浮点运算只能近似地表示实数运算。因此，对于值x，能够找到“最接近的”匹配值x'，它可以用期望的浮点形式表示出来。这就是舍入（rounding）运算的任务。

舍入方式有四种：

方式	1.40	1.60	1.50	2.50	-1.50
向偶数舍入	1	2	2	2	-2
向零舍入	1	1	1	2	-1
向下舍入	1	1	1	2	-2
向上舍入	2	2	2	3	-1

向偶数舍入是舍入到一个最接近的值。

2.4.5 浮点运算

浮点加法不具有结合性，例如，使用单精度浮点，表达式 (3.14+1e10)-1e10 求值得到 0.0 —— 因为舍入，值 3.14 会丢失。表达式 3.14+(1e10-1e10) 得出值 3.14。
浮点加法满足了单调性属性：如果 $a \geq b$ ，那么对于任何 a、b 以及 x 的值，除了 NaN，都有 $x+a \geq x+b$ 。无符号或补码加法不具有这个实数（和整数）加法的属性。
浮点乘法不具有结合性。例如，单精度浮点情况下，表达式 (1e201e20)1e-20 求值为 $+\infty$ ，而 1e20(1e201e-20) 将得出 1e20。
浮点乘法在加法上不具备分配性。例如，单精度浮点情况下，表达式 1e20(1e20-1e20)求值为 0.0，而 1e201e20-1e20*1e20 会得出 NaN。
对于任何a、b和c，并且a、b和c都不等于 NaN，浮点乘法满足下列单调性：
$a \geq b \ 且\ c \geq 0 \Rightarrow a *\ ^fc \geq b *\ ^fc$
$a \geq b \ 且\ c \leq 0 \Rightarrow a *\ ^fc \leq b *\ ^fc$
只要 $a \neq NaN$ ，就有 $a * \ ^fc \geq 0$

2.4.6 C 语言中的浮点数

所有的 C 语言版本提供了两种不同的浮点数据类型：float 和 double。
当程序文件中出现下列句子时，GUN 编译器 GCC 会定义程序常数 INFINITY(表示 $+ \infty$ )和 NAN(表示 NaN)：

#define _GUN_SOURCE 1
#include <math.h>

当在 int、float 和 double 格式之间进行强制类型转换时，程序改变数值和位模式的原则如下（假设 int 是 32 位的）：

从 int 转换成 float，数字不会溢出，但是可能被舍入。
从 int 或 float 转换成 double，因为 double 有更大的范围（也就是可表示值的范围），也有更高的精度（也就是有效位数），所以能够保留精确的数值。
从 double 转换成 float，因为范围要小一些，所以值可能溢出成 $+\infty$ 或 $-\infty$ 。另外，由于精确度较小，它还可能被舍入。
从 float 或者 double 转换成 int，值将会向零舍入。例如，1.999 将被转换成 1，而 -1.999 将被转换成 -1。

最后编辑于：2019.07.13 22:27:28

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