据说大数学家笛卡尔, 有一次生了一场大病, 卧床养病期间依然在思考一个问题: 如何把几何图形和代数方程联系起来. 一天躺在床上, 笛卡尔不经意间看到房顶一角的正在织网的蜘蛛. spider 高超的拉网技术不仅让笛卡尔免于讨厌的 mosquito 的bite, 也带给了他发明直角坐标系的灵感. 而直角坐标系, 是我们学习向量的起点. So, thanks for the annoying mosquito!

向量含义

数字和点

向量(3, 4), 有两种含义:

• 代表坐标系中的一点
• 代表由原点(0, 0)指向(3, 4)的有向线段

由于真实的世界是多维度的, 单变量不足以描述真实的世界, 所以我们需要向量这个伟大的工具. 而我们将上面的二维向量进一步推广, 定义为一组有序的数, 也就有了机器学习中特征向量. 对于我们普通的调参侠而言, 处理由特征向量构成的特征工程这部分工作, 在炼丹中占有很大的比例.

特征向量

向量运算法则

下面这个, 一目了然, 似曾相识, 好久不见...

向量运算的性质

向量加法的几何意义

向量加法的代数意义

证明也很重要

所有一目了然的公式, 背后都需要严格的数学证明.

向量分配律证明举例

零向量

零向量的定义

零向量的证明--反证法

python实现向量基本操作

class Vector:
    def __init__(self, lst):
        self._values = list(lst)

    @classmethod
    def zeros(cls, dim):
        """静态方法, 返回dim维零向量"""
        return cls([0] * dim)

    def __getitem__(self, index):
        """下标获取元素"""
        return self._values[index]

    def __len__(self):
        """定义向量加法"""
        return len(self._values)

    def __add__(self, other):
        """定义向量减法"""
        assert len(self) == len(other), \
            "vector length not equal"
        return Vector([a+b for a, b in zip(self._values, other)])

    def __sub__(self, other):
        """定义向量减法"""
        assert len(self) == len(other), \
            "vector length not equal"
        return Vector([a-b for a, b in zip(self. other)])

    def __mul__(self, k):
        """左乘"""
        return Vector([e*k for e in self._values])

    def __rmul__(self, k):
        """右乘"""
        return self * k

    def __iter__(self):
        """迭代器"""
        return self._values.__iter__()

    def __pos__(self):
        return 1 * self

    def __neg__(self):
        return -1 * self

    def __repr__(self):
        """与开发者友好交互打印"""
        return "Vector({})".format(self._values)

    def __str__(self):
        """print函数调用的打印"""
        return "({})".format(", ".join(str(e) for e in self._values))


if __name__ == "__main__":
    vec1 = Vector([1, 2])
    print("vec1: {}".format(vec1))
    print("vec[1]: {}".format(vec1[1]))
    print("vec len: {}".format(len(vec1)))
    vec2 = Vector([3, 4])
    print("vec2: {}".format(vec2))
    print("vec1 add vec2: {}".format(vec1 + vec2))
    print("{} * 3 = {}".format(vec1, vec1 * 3))
    print("3 * {} = {}".format(vec2, 3 * vec2))
    print("+{}: {}".format(vec1, +vec1))
    print("-{}: {}".format(vec2, -vec2))

打印结果