本书开篇就️以20世纪初，伟大数学家大卫·希尔伯特的发现：【有很多数学中的重要论点在结构上十分类似】道出了，大道至简，结构当然相似，而且是从底层开始构建。
书中的概念，比如内积空间（大部分读者会云里雾里），它由欧几里得空间抽象而来，这是泛函分析讨论的课题。至少我们都学过欧几里得的平面几何，即使忘记了也无妨，阅读此书它会让我们重温欧几里得四大公设，并理解了抽象思考的方法，假如读者愿意跟随本书的节奏，不仅可以掌握些许抽象思维的方法，并把通过对欧几里得第五公设平行线的思考，衍生出对球面的思考，得出双曲几何、球面几何的概念。从而由抽象思考形成抽象思维习惯后，能帮助自己从纷繁复杂的现象中迅速归纳出一个或者多个规律，并会由此心生欢喜。因为我们可以得到，在地球表面上，有一个各角均等于直角的等边三角形。作者指出【“原则上”这个短语在这里被过度使用了，因为这样的计算将会是极端复杂的，并且需要知道骰子的形状、材料、初始速度、旋转速度等更为精确的信息，而这般精确的信息在实际中是根本无法测出来的。】，是不是感觉到，如果我们在与人讨论”看到都不一定是真实”这样民间智慧的时候，可以帮助我们更智慧方式就是使用抽象思考得出规律，然后将具体情况再代入呢？是不是也可以理解了，凡事从公理出发，充分应用、遵循特定的“规则”，最后以有趣的数学陈述结束，那么这样的陈述就可以当作定理接受，否则就不能被视为定理。是否觉的佛教理论的因果论也如是说呢？
科幻《三体》里一个概念“降维打击”被众人津津乐道。什么叫降维？又怎么升维？在数学中可以将其特征表述出来吗？高维与低维的距离怎么算？假设已知二维面积，向三维扩大一倍，三维的为什么是二维的四倍？还有，为什么这个时候不用体积来做单位？其中的含义又如何？此书会一一给你到来，读者只需拿着笔和数张草稿纸跟着计算即可。
通过阅读此书，或者类似的书籍，我们也许可以开个脑洞，在数学中将求导高阶函数，也是一种降维；也可以在与人的交流过程中，对方如果习惯使用陈述句，那么至少交流对象是一个对自己很负责任的人，因为作者引用了一个宣言【逻辑实证主义者的宣言：“陈述的意义就是其证实的方法。”如果你出于哲学方面的考虑，认为我的观点令人生厌，那你不妨不要将它看作一个教条式的断言，而是视为一种可供采纳的态度。实际上，我希望表明的是，要想正确地理解更高等的数学，采纳这种态度是至关重要的。】，理由是数学即使无法做到精确的时候，至少它不放弃，而采纳一种误差允许范围内的近似；阅读此书，它还可以帮助我们如何理解俗语说的“那只是一种理论，与实际脱节”的真正内涵是什么？原来，理论本来就是解决现实问题的，说这样话的人并没有对理论熟悉到能解决实际问题的能力，所以他要么想绕过去，要么想掩盖自己的理论不扎实，或者羞于承认自己浪费了一些本可以不浪费的时间。
由于人类的心理作用，认为公理都是因为它的真实性，阅读此书，我发现了【公理系统的主要问题并不是公理的真实性，而是公理的自洽性和有用性。】于是，我们对根号2具体是什么数字，为什么是无理数也就释怀了。
阅读此书，我觉的数学一直在践行着科学精神中的质疑、探索、理性、实证四要素。启发较大的是，数学思想在生活、工作中应用，就是提醒自己，不要考虑一步到位的完美解决方案，因为那样有可能让人一筹莫展，却又很装逼似得暗示自己，“我在追求完美”。
作者还提出“思维体操”这个概念，这个词义表示需要数学需要基础训练，而且存在已知的高难度的动作，还有不可预知的难度。从这个概念出发，我们也理解了为什么有那么多人旗帜鲜明地厌恶数学？因为数学总是持续在自身的基础上构建，所以学习时的步步跟进就显得很重要。也理解了，如果对数学研究的艰难程度没有一点概念，不了解要想做出重大的原创性工作，必须要花上数年的时间来充分发展知识和专长，也不知道数学是一项多么需要集体合作的活动。那么数学的确是令人望而却步的。
