本周开始第九章的学习,演绎论证2,真值函数逻辑。
真值函数逻辑,又称为判断或语句逻辑。
第一节介绍真值表和真值函数符号。
在本章,我们用大写字母代表判断,这些字母被称为判断变元。真值表,即一个判断变元P的两中可能情形,要么为真,用T表示真值为真;要么为假,用F表示真值为假。
可以利用真值表来定义真值函数符号:无论判断P的真值如何,其负判断或矛盾判断的真值与之正好相反:
P ~P
T F
F T
“~”代表相反的意思,我们把~P称为“非P”。如果P表示“妈妈在家”,那么~P就表示“妈妈不在家”或“妈妈在家不是事实”。
任何给定的判断非真即假,对于两个判断P或Q,其真值情形就有2X2=4种组合:都为真,都为假,或者他们的真值相反。
合取判断是由两个(被称为合取支的)简单判断构成的复合判断。当且仅当构成它的两个简单判断都为真时,合取判断为真。用P表示“妈妈在家”,Q表示“爸爸在家”,P&Q就表示“妈妈在家且爸爸在家”,符号“&”把两个合取支P、Q联结起来,表示“P且Q。”合取判断的真值表为:
P Q P&Q
T T T
T F F
F T F
F F F
析取判断是由两个(被称为析取支的)简单判断组成的复合判断。当且仅当构成它的两个简单判断都为假时,析取判断为假。同样,用P表示“妈妈在家”,Q表示“爸爸在家”,P ∨ Q就表示“妈妈在家或爸爸在家”,符号“∨”用来代表析取判断的联结词。析取判断的真值表为:
P Q P∨Q
T T T
T F T
F T T
F F F
假言判断是由两个简单判断构成的第三种复合判断。日常语言中,通常用“如果……那么……”表述条件,比如,“如果妈妈在家,那么爸爸也在家。”
符号“→”表示假言判断的联结词,假言判断的符号形式是P→Q,P即假言判断中的前一个简单判断是前件,第二个简单判断Q是后件。当且仅当前件为真而且后件为假时,假言判断为假。且真值表为:
P Q P→Q
T T T
T F F
F T T
F F F
合取判断可以理解为取交集,析取判断就是取并集。比较难以理解的就是假言判断。举例来说明,假设朋友向你承诺,如果他上午拿到工资,中午就请客。这可以表达为假言判断:
如果A上午拿到工资,那么他中午请客。
我们可以用P和L及联机词符号把上述判断表达为:P→L。分别用语言表述出上面的四种情况就是:
①A上午拿到了工资,他中午确实请客了。
②A上午拿到了工资,他中午没有请客。
③A上午没有拿到工资,但他中午也请客了。
④A上午没有拿到工资,他中午没有请客。
可以看出,只有第②情况A违背了他的承诺(第④种不在A的承诺范围内)。
只有当前件为真且后件为假时,假言判断的真值表才只有一种情况为假。
以上,只是简单的两个判断条件,当判断条件增加到3个时,其真值表就有2X2X2=8行。
补充一句:如果两个判断的真值表完全相同,就说明他们是真值函数等值式。