为什么说除法是乘法的逆运算

为什么说除法是乘法的逆运算

  其实除法是乘法的逆运算与减法是加法的逆运算类似,不同之处在于:加法逆运算的表达是通过0,而乘法逆运算的表达是通过1, 我们来分析如何表示除法。

对于a∈Z,b∈Z,a÷b=ya=b×y

这个关系表明除法是乘法的逆运算,因

这个关系表明除法是乘法的逆运算,因为除法可以与乘法对应。通常在上式中,a称为被除数,b称为除数,y称为商

�1、若商为整数,那么命题“a是b的y倍”等价与命题“b的y倍是a”。通过上面的式子还可以看到,对于前一个命题,即“a是b的多少倍”这样的问题应当用除法;对于后一个命题,即“b的y倍是多少”这样的问题应当用乘法。因为理解除法比理解乘法要困难一些,因此在实际教学过程中,往往需要借助乘法来说明除法。 

�2、若商不是整数,比如5÷2就不能表示为整数,这就需要构建一种新的数,人们把这样的数称为有理数。这样,通过除法,可以把数的集合由整数集合扩充到有理数集合,通常用Q表示这个集合。人们把四则运算推广到有理数集合的同时,也把相应的运算法则扩充到有理数集合。但是,在推广过程中需要特别注意逆运算,对于逆运算,有些法则成立,有些法则不成立,比如:

分配律成立:(5+6)÷3=(5÷3)+(6÷3)

交换律不成立:5÷3≠3÷5

除法与倒数

倒数的定义方法如下:

对于b∈Z且不为0,满足b×y=1

的数,y称为b的倒数,表示1/b。与相反数类似,b与1/b互为倒数。进一步,对于任何a∈Z,用a/b表示a个1/b这样的数。通过这样的表示,就可以利用倒数把整数集合扩充到有理数集合,即把有理数集合表示为

    Q={a/b;a∈Z,b∈Z-{0}}

上面关于有理数集合的表示是具有一般性的:用大括号包括所有集合中的元素;分号前面表示的是集合中元素的形式;分号后面表示的是集合中元素的属性。其中符号b∈Z-{0}表示b可以是除去0以外的所有整数,这种表示也意味着“0不能为除数”

为什么会有这样的规定呢?

通过乘法的逆运算定义除法的模式是这样的

a÷b=ya=b×y(其中b为除数)

如果我们假设b=0,分析上面右边的乘法算式,可以有两种情况:一种情况是a≠0,那么无论y为任何数,上面右边的等式都不成立,因此乘法不成立,进而除法不成立;另一种情况是a=0,这样右边的等式可以表示为0=0×y,这时无论y是任何数,等式都成立,因此计算结果不唯一,进而除法不成立。综上所述,在除法运算中除数不能为0.

倒数与除法之间的关系:除以一个数等于乘以这个数的倒数。    a÷b=a×b分之一

在乘法运算过程中,人们通常会省略其中的乘法符号“×”,有时可以写成a÷b=a/b。虽然这种表示方法与分数是一致的,但从抽象的本意来说,分数与除法是有本质差异的。分数的本质是数而不是运算。

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