1.3.2设群
中元
的阶%3Dmn%2C(m%2Cn)%3D1)
则%3Dm%2Co(b)%3Dn)
且
均为的幂。
1.3.3设群的两个元
可换，%3Dm%2Co(h)%3Dn)
记![(m,n),[m,n]](https://math.jianshu.com/math?formula=(m%2Cn)%2C%5Bm%2Cn%5D)
分别是
的最大公因子和最小公倍数，则
(1)![o(g^nh^m)=\frac{[m,n]}{(m,n)}](https://math.jianshu.com/math?formula=o(g%5Enh%5Em)%3D%5Cfrac%7B%5Bm%2Cn%5D%7D%7B(m%2Cn)%7D)
(2)中存在阶为)
的元
(3)中存在阶为![[m,n]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Bm%2Cn%5D)
的元
1.3.4设
是群的有限子群，则是的子群当且仅当对任意元
1.3.8设和
是有限群的两个非空子集，若
则
1.3.11设
如果存在
使得
则
1.3.12设
则有限群中有偶数个阶为
的元
1.3.14设
试证%3DC_G(A))
1.3.15试证有限群的一个真子群的全部共轭子群之并不能覆盖整个群结论对无限群是否成立？
1.3.16设
和
分别是有限群的两个子群，试证：
![|HgK|=|H|[K:K\cap g^{-1}Hg]=|K|[H:H\cap gKg^{-1}]](https://math.jianshu.com/math?formula=%7CHgK%7C%3D%7CH%7C%5BK%3AK%5Ccap%20g%5E%7B-1%7DHg%5D%3D%7CK%7C%5BH%3AH%5Ccap%20gKg%5E%7B-1%7D%5D)
1.3.17设是群的具有有限指数的子群，试证：存在的一组元
它们既可以作为在中的右陪集代表元系，又可以作为在中左陪集代表元系。
1.3.18令%2Cp)
是主对角线上的元均为1的
上三角方阵全体形成的的子群。确定%2CC_G(p))
和
的中心)
1.3.19设是有限
群，试证对应到
是的一个自同构当且仅当
和
互素。
1.3.20设是奇数阶有限群，)
且
令
%3Dg%5C%7D%2CG_%7B-1%7D%3D%5C%7Bg%5Cin%20G%7C%5Calpha(g)%3Dg%5E%7B-1%7D%5C%7D)
试证
且
1.3.21设群的元
满足
其中
和是互素的正整数，则
参考文献
冯克勤, 章璞. 近世代数三百题[M]. 高等教育出版社, 2010.
