(一)行列式概念和定义
定义式：|A|=Σ(-1)ᵗa₁ₓ₁a₂ₓ₂...aₙₓₙ
其中，τ为x1, x2,..., xn的逆序数
例如：规定顺序为从左向右递增
则，从左数第一个元素起，计算“每一个元素右侧比该元素小的元素的数量”之和，即为该数列的逆序数。
理解：行列式的本质是一个数或函数，是一个n×n矩阵中所有元素，“全部排列方法的”“不同行不同列的”元素的乘积之和。
由于不同行不同列元素的排列方法共有n! 种，所以行列式的完全展开式中共有n! 个多项式。
定义式中采用的是规定行顺序，排列列顺序；也可以规定列顺序，排列行顺序。实际上，不仅限于这两种方法，但其他方法混乱无规律可循。
特别地，二阶行列式是两个向量的向量积；
三阶行列式是其中，“任意两个向量的向量积”和另外一个向量的数量积。
(二)行列式的性质
1. 行列式和初等变换
2. 行列式的拆分性质
3. 转置矩阵的行列式相等
4. 行(列)间成比例/全零行
(三)行列式的计算
1. 定义式计算
①二阶：主对角线乘积，减去副对角线乘积
②三阶：三个主对角乘积，减去三个副对角乘积
③高阶不建议用定义式，除非下面的特殊情况
2. 行列式按行(列)展开
|A|=aᵢ₁Aᵢ₁+aᵢ₂Aᵢ₂+...+aᵢₙAᵢₙ
|A|=a₁ⱼA₁ⱼ+a₂ⱼA₂ⱼ+...+aₙⱼAₙⱼ
定义：行列式的值等于，任一行(列)的“各元素与其代数余子式乘积”之和
推论1：某个数列各元素与行列式中某一行(列)的“各代数余子式乘积的和”，相等于把这个数列替换行列式中的这一行(列)的元素，形成的新的行列式的值。
推论2：“任一行(列)的各元素”与“其他行(列)代数余子式”乘积之和，等于零。
3. 基本易求行列式
⑴三角行列式
①主对角线、主三角行列式
|A|=a₁₁a₂₂...aₙₙ
②副对角线、副三角行列式
|A|= (-1)^[n(n-1)/2]• a₁₁a₂₂...aₙₙ
⑵分块阵
①主对角线分块、主三角分块行列式
|A|=|A₁||A₂|...|Aₙ|
②副对角线分块、副三角分块行列式
|A|=(-1)ᵐⁿ |B||C|
⑶范德蒙德行列式
性质：第i行中，各元素是第二行元素的(i-1)次方
①缺首行/缺末行：
❶每行提公因子
❷化为普通范式行列式
②缺中间行（假设缺第四行(a₁³,a₂³,...,aₙ³））
❶补全中间缺的行
补上一列未知数(1,x,x²,...,xⁿ)ᵀ
❷新的范式行列式
|A|=[Π(aᵢ-aⱼ)]·(x-a₁)(x-a₂)...(x-aₙ)
可求出其中x³的系数K
❸按(1,x,x²,...,xⁿ)ᵀ一列展开
其中x³的系数为(-1)⁴⁺⁽ⁿ⁺¹⁾M₄₍ₙ₊₁₎
❹缺行范式行列式|A|=M₄₍ₙ₊₁₎
③转置后，第j列中，各元素是第二列元素的(j-1)次方
4. 常见行列式的套路
⑴行列式元素均在三条线上
①爪形行列式：用对角线元素消两侧线元素
②两条斜线一个点
❶取两点展开
❷按定义计算：
先算一条对角线，再算平行线和点
③三对角线行列式：递推公式
❶主对角线元素均为a，
两侧平行对角线分别均为b,c
Dₙ = aDₙ₋₁ - bcDₙ₋₂
差分方程凑出等比级数
❷主对角线元素均为(λ+μ)，
两侧平行对角线分别均为b,c，使bc=λμ
其中，λ和μ的顺序无碍
Dₙ = (λⁿ⁺¹-μⁿ⁺¹)/(λ-μ)
⑵行(列)间的特殊关系
①行和相等：累加消元法
②相邻行等差等比关系：相邻消元法
⑶每行(列)含有较多相同(成比例)元素：
加边法，消掉相同的元素
5. 含未知数的行列式方程
①特征多项式各次项系数
❶|A-λE|=(λ₁-λ)(λ₂-λ)...(λₙ-λ)=0
其中，(-λ)ⁿ的系数为1
(-λ)ⁿ⁻¹的系数为λ₁+λ₂+...+λₙ=tr(A)
常数项为 λ₁λ₂...λₙ=|A|
❷对照行列式方程的各次项系数，分析题目条件
②确定未知数x，凑出成比例的行(列)
③根据不同行不同列元素乘积，求出某次项系数
6.见图
7.见图
