高等代数理论基础14：n级行列式

n级行列式

定义：n级行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$ 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 $a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$ 的代数和,这里 $j_1j_2\cdots j_n$ 是 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列,每一项都按以下规则带有符合：当 $j_1j_2\cdots j_n$ 是偶排列时,带正号,当 $j_1j_2\cdots j_n$ 是奇排列时,带负号

即 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$

注：

1.n级行列式由n!项组成

2.行列式的元素全是数域P中的数时,它的值也是数域P中的一个数

上三角形行列式

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$

项的一般形式为 $a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$

行列式中第n行的元素除去 $a_{nn}$ 外全是零,只要考虑 $j_n=n$ 的那些项,在n-1行中,除去 $a_{n-1,n-1},a_{n-1,n}$ 外全是零, $j_n$ 只有n-1,n两种可能,由于 $j_n=n$ ,所以 $j_{n-1}$ 就不能等于n了,从而 $j_{n-1}=n-1$ 逐步推上去,可知展开式中除 $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$ 外其余项全是0,而这一项的列指标所成排列为偶排列,所以这一项带正号

所以 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

注：

1.上三角形行列式就等于主对角线(从左上角到右下角的对角线)上元素的乘积

2.主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式

行指标列指标对称性

一般地,行列式中的项可以写成 $a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}$ ,其中 $i_1i_2\cdots i_n,j_1j_2\cdots j_n$ 是两个n级排列,项的符号为 $(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)}$

证明：

$重排a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}$

$使得行指标成自然顺序$

$即a_{1j'_1}a_{2j'_2}\cdots a_{nj'_n}$

$则项的符号为(-1)^{\tau(j'_1j'_2\cdots j'_n)}$

$下证(-1)^{\tau(j'_1j'_2\cdots j'_n)}=(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)}$

$由a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}变到a_{1j'_1}a_{2j'_2}\cdots a_{nj'_n}$

$可以经过一系列元素的对换实现$

$每作一次对换,$

$元素的行指标与列指标所成排列同时作一次对换$

$即\tau(i_1i_2\cdots i_n)和\tau(j_1j_2\cdots j_n)同时改变奇偶性$

$\therefore \tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)奇偶性不变$

$即对a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}作一次元素的对换$

$不改变(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)}的值$

$\therefore 在一系列对换后有$

$(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)}=(-1)^{\tau(12\cdots n)+\tau(j'_1j'_2\cdots j'_n)}$

$=(-1)^{\tau(j'_1j'_2\cdots j'_n)}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

$(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)}$ 来决定行列式中每一项的符号,表面行指标与列指标的地位是对称的,因而把每一项按列指标排起来,定义可写成

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{i_1i_2\cdots i_n}(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_nn}$

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