一、常量与变量
1、概念
- 变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量
- 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量
- 区别：“变量”是可以变化的，而“常量”是已知数
温馨提示：
- 常量是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式子中出现的字母都是变量，如π不是变量，而是常量
- 数值是否发生变化是判断一个量是变量还是常量的重要依据。区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变。
二、函数
1、定义：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y被称为因变量。
2、对函数的理解：
- 两个变量：自变量x和因变量y
- 一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化
- 对于自变量x每一个确定的值，因变量y有且仅有一个值与之对应，即函数有且仅有一个值
- 重点提醒： 每一个自变量x，因变量有且仅有一个值与自变量x对应。
三、函数自变量的取值范围
函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的全体
温馨提示
- 求自变量的取值范围通常从两个方面考虑：一是使函数的解析式有意义；二是符合客观实际。
- 自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，还可以是单独一个（或几个）数，在一个函数关系式中，同时又几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量取值范围的公共部分。
四、函数值
函数值是指自变量在取值范围内某个值时，函数与之对应的唯一确定的值。如果x= a时，y=b，那么b叫做当自变量x的值为a时的函数值。
知识延伸：
- 当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值
- 当已知函数解析式，又给出函数值，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程
- 当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式
- 当自变量确定时，函数值是唯一确定的，但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个。如y=
中，当y=4时，x=±2
五、函数的解析式
像y= x+2 这样，用关羽自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。
注意事项：
- 确定实际问题中的函数解析式与列方程解应用题类似，设x是自变量，y是x的函数，先列出关于x，y的二元方程，再用含x的代数式表示y，最后写出自变量x的取值范围
- 在确定实际问题中的函数解析式时，不要忽略自变量的取值范围
六、函数的图像
1、画函数图像的一般步骤
- 列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值
- 描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点
- 连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
注意事项：
- 列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数图像能反映函数的全貌
- 描点时要以表中每对对应值为坐标，取得的点越多，图像越准确
- 连线时要用平滑的曲线把所描的点从左到右顺次连接起来，函数的图像直观地反映两个变量之间的对应关系。
七、函数的表示方法
1、列表法
- 定义：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数与自变量间的关系的方法称为列表法
- 优点：列表法一目了然，表格中已有的自变量的每一个值可以直接查到与它对应的函数值，使用起来很方便
- 缺点： 列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的对应关系
2、图像法
- 定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，那么这些点所组成的图形，就是这个函数的图像。这种表示函数关系的方法叫做图像法。
- 优点： 形象直观，通过函数的图像，可以直接、形象地把函数与自变量间的关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，如函数有无最大值（或最小值）函数值是随自变量的增大而增大，还是随自变量的增大而减小等，函数的图像是研究函数及其性质的有利工具
- 缺点：由图像观察只能得到近似的数量关系
3、解析式法
- 定义：用函数的解析式表示函数的方法叫做解析式法。
- 优点： 简单明了，能准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系
- 缺点： 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数关系不一定能用解析式表示出来。
