引言

19世纪的独特创造是单复变函数（也常称为函数论），像微积分统治18世纪一样，函数论统治了19世纪，被认为是抽象科学中最和谐的理论之一。

复函数论的开始

18世纪，复数和复函数通过与部分分式积分法、确定负数与复数的对数、保形映射、实系数多项式分解等工作的联系进入数学，不过18世纪数学家在复数和复函数上还做了很多工作，如达朗贝尔1752年的流体力学研究中考虑一个物体经过各向同性、无重量理想流体的运动，他想确定出两个函数p,q，它们的微分是dq=Mdx+Ndy,dp=Ndx-Mdy，有，现在称为柯西-黎曼方程，第19章提到该方程表示qdx+pdy和pdx-qdy是某些函数的恰当微分，加入复数后他发现p,q是一个复函数的实部及虚部。1776-1783年逝世期间，欧拉写了一系列用复函数计算实积分的论文，但1788年起才陆续发表。他指出z的任一函数若对z=x+iy具有形式M+iN，那么对z=x-iy就具有形式M-iN，他称之为复数基本定理，并据此求实积分值。他将变换为,根据复数基本定理分别得到实部P、虚部Q，Mdx-Ndy和Ndx+Mdy分别是P、Q的恰当微分，有，欧拉强调一个复函数的实部M和虚部N满足柯西-黎曼方程，不过他主要用计算Z，因为P等于原来的V，为了把P的积分形式化为一元函数的积分，欧拉把z=x+iy换为z=r(cosθ+isinθ)并保持θ不变，即沿复平面上过原点的一条射线积分。

拉普拉斯也用复函数求积分值，1782年起他像欧拉一样把实积分化为复积分求值，他比欧拉先发表论文，要求发现的优先权，但1777年彼得堡科学院已宣读过欧拉的论文（拉普拉斯真的蛮不要脸，人去世了还要抢功），在这一工作中拉普拉斯引入了现在称为解微分方程的拉普拉斯变换方法。

欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯的工作为函数论提供重要进展，不过他们的局限性在于依靠分离f(x+iy)的实部、虚部进行分析工作，没把复函数当作基本实体，因为他们使用复函数还不那么自然。拉普拉斯在使用中强调要谨慎有约束地使用，结果必须验证。

复数的几何表示

复数及其代数运算的几何表示使单复变函数理论的建立更为直觉合理，科茨、棣莫弗、欧拉、范德蒙德等人确实把复数看作平面上的点，当他们解方程x^n-1=0时都把看作一个正多边形的顶点。欧拉把x,y看作坐标平面上的点，化为r(cosθ+isinθ)后用极坐标表示x+iy，可以说在1800年已出现了复数的平面坐标表示法，只是没有做出两者决定性的同一化，也没给出复数代数运算的几何意义，更没想到把x+iy的复函数u+iv的值用另一个平面的点表示。

1797年挪威自学的测量员韦塞尔（1745-1818）写了一篇关于方向分析的论文，他试图几何表示有向线段（向量）及它们的运算，他在实轴（单位为1）的基础上引入了虚轴，以根号-1为单位，向量OP是在具有单位1和根号-1的平面上从原点O画出的线段OP，用复数a+b根号-1表示。然后他用几何术语定义的复数运算来定义向量运算，也就是现在使用的四种运算定义：如a+bi与c+di的和是相邻两边OP与OQ构成的平行四边形的对角线，a+bi和c+di的积是一个新的向量OR，OR/OQ=OP/实单位1，而OR与x轴的夹角是OP和OQ与x轴的夹角之和。韦塞尔将平面点用向量表示，他把向量几何表示法用于几何问题与三角问题，然而这篇论文直到1897年译为法文发表才被人发现其重大价值。

瑞士自学的簿记员阿尔冈（1768-1822）给出了另一个复数的几何解释，他注意到负数是正数的扩展，它是将方向与大小结合得出的，于是他想找出一种运算，将1转变为x再转变成-1，这个运算就是逆时针旋转90°，所以可以把根号-1看成逆时针旋转90°，而-根号-1是顺时针旋转90°，利用这个意义，阿尔冈决定由原点出发的线段OB应表示为r(cosa+isina)，其中r为长度，他也把复数a+bi看作符号化的a和bi的几何结合OB，他像韦塞尔一样指出如何将复数几何地相加、相乘，并由此证明三角、几何、代数的定理。

高斯在推广复数上做了很大贡献。他在代数基本定理的几个证明中使用复数，在前三个证明中假设直角坐标平面上的点与复数一一对应。证明中未真正用到复函数理论，也是把涉及的函数分成实部和虚部。1811年他在给贝塞尔的信中称，a+bi用点(a,b)表示，在复平面上可以沿许多路径从一点到另一点，我们可以从中看出1815年高斯已完全掌握复数和复函数的几何理论，虽然1825年他又说√-1的真正奥妙是难以捉摸的。不过到1831年他已克服了对复数的顾虑，公开描述了复数的几何表示，不仅将a+bi表示为复平面上的一点（不像韦塞尔、阿尔冈表示为向量），而且阐述了复数的加法和乘法。他指出复数具有巨大价值，在这个几何表示中大家可看出复数的直观意义已完全建立，不需要再增加什么就可以在算数领域中采用这些量。他引入术语“复数”以与“虚数”相对立，并用i代替根号-1.