热传导定律

1.温度的刻画

通常情况下,不同时刻对于空间不同的点, 其温度通常是不相同的, 为此我们假设 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 为我们需要研究的区域, 于是自然要考虑的是引入函数
$u: \mathbb{R} \times \Omega \to \mathbb{R},(t,x) \mapsto u(t,x)$
来刻画空间的温度随时间的演化.

当然, 简单的情况是温度场不随时间演化, 也就是函数 $u$ 与时间变量无关, 只由空间变量确定, 这种情形我们称为温度场是稳定的.

2. 等温度线与等温度面

自然, 对于函数 $u$ 而言, 我们取定一个时刻 $t$ , 如果在 $\Omega$ 存在一条曲线 $\Gamma$ , 使得
$u(t,x)=c,\forall x \in \Gamma$
那么我们称 $\Gamma$ 为温度场函数在 $t$ 时刻的等温线, 类似当然可以定义等温面.

3.温度场的梯度

对于温度场 $u$ 而言, 我们自然关系向量场
$\nabla u(t,\cdot):\Omega \to \mathbb{R}^3, x \mapsto \nabla u(t,x)=\frac{u(t,x)}{\partial x_{1}}+\frac{u(t,x)}{\partial x_{2}}+\frac{u(t,x)}{\partial x_{3}},$
我们称其为温度场的梯度场, 注意, 由梯度的含义, 我们很快知道, 对时空点 $(t,x)$ 而言, 梯度方向是温度场函数增长最快的方向, 等价地说, 负梯度方向自然是温度场函数减小最快的方向, 由于在热的传导的过程中都是由高温传导到低温, 因此我们很多时候跟关注温度场的负梯度场.

当然, 更一般的手法是我们考虑一个封闭曲面 $\partial \Omega$ , 取其自然的单位法向量场 $n$ , 我们更关心的是函数
$\frac{\partial u(t,x)}{\partial \vec{n}},\forall (t,x) \in \mathbb{R} \times \Omega.$
现在我们需要引入相关概念来刻画热的传导.

定义: 单位时间通过某曲面 $S$ 的单位面积的热量我们称为热流密度. 我们用 $q$ 来表示这个函数. 在数学上我们的出来为, 我们在曲面上任意取一个点 $x$ , 并任意取一个包含 $x$ 的面积微元 $\Delta S$ , 并取一个充分小的时间 $\Delta t$ , 如果在这个时间段内通过曲面的热流为 $\Delta Q(t,x,\Delta t, \Delta S)$ , 那么我自然考虑
$\frac{\Delta Q(t,x,\Delta t, \Delta S)}{\Delta t\Delta S}$
当然这个数值与时空点 $(t,x)$ 由关, 同时还与 $\Delta t$ 以及 $\Delta S$ 有关, 因此自然的模式是考虑
$\lim_{ {\Delta t \to 0 } \atop{\Delta S \to 0} }\frac{\Delta Q(t,x,\Delta t, \Delta S))}{\Delta t\Delta S}$
如果这个极限存在, 我们就称其为温度场 $u$ 在时空点 $(t,x)$ 的热流密度, 即
$q(t,x)=\lim_{{\Delta t \to 0 }\atop{\Delta S \to 0} }\frac{\Delta Q(t,x,\Delta t, \Delta S)}{\Delta t\Delta S}$

4.Fourier 热传导定律

Fourier 热传导定律: 对于分布在时空 $\mathbb{R} \times \Omega$ 上的温度场而言, 时空点 $(t,x)$ 的热流密度与该时空点的温度场的梯度场成正比, 即
$q(t,x)=-k(t,x) \nabla u(t,x), \forall (t,x) \in \mathbb{R} \times \Omega$
注意, 其中 $k$ 是时空区域 $\mathbb{R} \times \Omega$ 的热传导系数函数, 这个函数通常及其复杂, 在温度函数不出现大振幅的情况下, 对于均匀介质, 我们通常将其取为常量, 然后使用实验的方式进行测量.

对函数 $k$ 的精确掌握需要对热传导

热传导定律

热传导定律

1.温度的刻画

2. 等温度线与等温度面

3.温度场的梯度

4.Fourier 热传导定律

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