——“余亏中的平均分问题”初探
前天晚上，在接晚自习后放学的乐乐时，忽然接到琴老师的电话，相互问好之后，琴老师说自己要讲一节数学文化课，备课过程中遇到困难，想起从前我们两个一起研讨课的情景，不禁感叹：“那时候多好啊，面对一个问题，两个人各抒己见，相互启发！”
我听后心中一震，往事浮在眼前。
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当年，我们两个张店镇的数学老师作为县教研室选定的送课老师，一起出去送课，在送课的过程中，我们经由坦诚讨论课而相互敬佩。
有一次，我们一起去桐寨铺乡送课，我的课上的并不满意，忐忑不安的我当天晚上回去后连夜修改课件，重新梳理讲课思路。
第二天早晨，我们在大朱岗等候县教研室老师时，琴老师凝重地告诉我：“关于你讲得那节课，我是这样想的……”。
等琴老师说完她的想法后，我非常感动，琴老师的有些思路和我昨晚的反思非常吻合，有的思路则非常有启发性，这些思考很棒！在感激之余，我也说出自己的见解。
于是，在那个清晨，我们一边沿着公路散步，一边热烈地讨论，虽然旁边的车一辆辆从身边过去，但是我们却沉浸在数学教学研讨中。
等到县教研室的车停在我们身边时，我们竟然无法立刻停下，县教研室的老师一脸惊喜地也参与到我们的讨论之中，就这样，一路争论不休，不知不觉中来到了郭滩一小，那节课后来上的很精彩，这一份精彩背后的精彩我又怎能忘怀！
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“这次要讲什么？”
“有3个没有刻度的量杯，它们的容积分别是8升、5升、3升，其中8升量杯中装满了水，现在不能借助其他工具，你能把8升水平均分成2份吗？”
听了这个问题，我的脑子自动运转，请各位看客停下来思考这个问题，找到答案后再阅读下文更好玩。
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一番思考之后，我说出了自己的想法：“先把5升量杯倒满，再把5升量杯中的水倒入3升量杯中，然后把3升量杯中的水再倒进8升量杯中，再把5升量杯中剩下的2升水倒入3升量杯中，这时3升量杯中倒不满，还亏1升，这时，再把8升量杯中的水倒入5升量杯中，倒满之后，再把5升量杯的水倒入3升量杯中，这时3升量杯中只能倒进去1升，于是，5升量杯中剩余的水就是4升！再把3升量杯中的水倒入8升量杯中，此时8升量杯中也是4升！平均分便成功了！”
我啰里啰唆地说出自己的办法，琴老师高兴地赞道：“对，就是这样操作的。”停顿了一下：“可是，这对于五年级的学生来说，会不会太难？再者，这样一道题的教学价值又在哪里呢？”
“你是怎么想的？”
“我想，这个来回倒的过程如此复杂，所以要鼓励孩子倒之前要先思考。这个题可能是培养学生逻辑推理的能力。8平均分，一定会分成2个4，而题目中只有3和5，思路最好是5-1=3+1，这样思考能充分运用题目的已知条件，这样的话如何找出1这个数就成为解题的关键！”
听了琴老师的解释，我不住点头：“这个思路真的很棒！教学问题先放一放，再给我出一道难一点的题。”
“10、7、3”
我按照琴老师的思路走：“10平均分后得到2个5，条件中只有7和3，那么7-2=3+2，如何得到2就成为解题关键，来回倒吧……”，解答成功之后，我有一种豁然开朗的感觉，真好：“再给个更难的吧！”
“12、7、5”
通话时间一长，我有点累了，干脆坐在地上，嘴里念念有词，绕了几圈后终于算出来了，不禁欢呼。
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不知道什么时候，乐乐已经放学了，和爱人一起站在我的身旁安静等待.
我和琴老师又探讨了教学上一些看法，没有什么突破，自己觉得这些题目挺好玩，但是对于五年级的孩子来说，我们又该教什么？深浅怎样把握？一时拿不定主意，只好先放下。
放下电话，和孩子一起回家，路上，我们说起此事，乐乐很有兴致地解答了“8、5、3”，乐乐的思路和我的不同：“先倒满3升量杯，再往5升量杯里倒，再倒满3升量杯，再往5升量杯里倒，这时5升量杯倒满，3升量杯剩1升，然后清空5升量杯，再把3升量杯中的1升倒入5升量杯里，然后再把3升量杯倒满，再把这3升倒入5升量杯，这时5升量杯中1+3=4，而8升量杯中刚才已经刚好剩4升。”，我很惊奇于这种新倒法，真是有趣，随后，我又介绍了我的倒法和琴阿姨的找“关键数”思想，乐乐很佩服琴阿姨的分析和“找关键的1”这个思路；
再做第2道题“10、7、3”时，乐乐用“倒满3升量杯，再往7升量杯里倒”的方法时，遇到了困难，又因为受找“关键数”思想的影响，没有沿着这个思路走下去。
小莹则提醒：“干老师说要数学建模，这个题的数学模型是什么？”
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第二天早晨，数学建模又在我脑中激荡，虽然还很模糊，但是我重新梳理之后，有了命名的冲动。8升水的量杯只是充当了置换的容器，所以命名为“总杯”，5升量杯和3升量杯根据大小分别命名为“大杯”和“小杯”，如果大杯往小杯倒，那么大杯会出现剩余，也就是“余几”，大杯余下的水再倒入小杯中，此时小杯中会出现倒不满的现象，也就是“亏几”，根据余亏来运算，总能找到平均分的结果，所以，我把这一类现象命名为“余亏中的平均分问题”。
重新梳理之后，我发现了“大杯往小杯倒水”的原则：大杯总在往小杯中倒水，而小杯倒满之后总是需要不断清空，清空小杯后，大杯将继续往小杯中倒，这期间有时大杯中出现剩余，有时小杯中出现亏空，经过若干次之后，好像就能得到要的结果。
另外，经历多次做题之后，我发现，倒水过程非常繁琐，如果把倒水过程简化成数学算式，会非常便捷，于是，纯粹数学运算出现了，看官，你可以先试试
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（1）“8、5、3”的数学运算：
5-3=2，3-2=1；
5-1=4；
出现把8平均分成2份的第一个4，把另外的水倒回总杯，第二个4也出现。就大功告成了。
用表格表示如下：
（2）“10、7、3”的数学运算：
7-3=4，4-3=1，3-1=2；
7-2=5；
出现把10平均分成2份的第一个5，把另外的水倒回总杯，第二个5也出现，成功。
用表格表示如下：
（3）“12、7、5”的数学运算：
7-5=2，5-2=3，
7-3=4，5-4=1；
7-1=6；
出现把12平均分成2份的第一个6，把另外的水倒回总杯，第二个6也出现，搞定！
用表格表示如下：
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开始我以为“剩余”和“亏空”会交替出现，后来我发现在“10、7、3”中，7升大杯连续倒2次，会出现2次剩余，最后一次剩余1升。
当出现这种情况之后，我对此很感兴趣，我隐隐觉得这与除法有某种关系，
7÷3=2（次）……1（升），所以，必定用7升量杯往3升量杯倒2次，最后7升量杯中会剩余1升。
这个发现很有趣，但是手头上没有现成的题目来验证，于是，我就自己编了一道题“20、17、3”
“20、17、3”的数学运算：
17-3=14，14-3=11，11-3=8，8-3=5，5-3=2；3-2=1，
17-1=16，
16-3=13，13-3=10，
出现把20平均分成2份的第一个10，把另外的水倒回总杯，第二个10也出现，耶！
用表格表示如下：
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做到这里，我又有了新的疑问：是不是所有的类似题都能平均分呢？这个大胆的假设做出后，我自己又出了很多题来验证，结果发现“20，13，7”是无解，后来又发现“100，53，47”无解【说明：此处看官不必验证，这两个题都有解，是我的计算出现问题】。
后来，又拉着小莹和乐乐分享这个研究成果，乐乐则对有余数的除法感兴趣，我们继续研究，发现余的数不断增大，亏的数不断减小，并且增大和减小的数是相同的，最重要的是当余的数比小杯的容积多时，会出现一个“拐点”，也就是余数又会变得很小，并且又开始有规律地增大，以“拐点”为分界线，会出现一组一组的余数，这些余数之间又有规律地变化。
后来乐乐和我开始研究我说得无解的情况，发现“20，13，7”是有解的，只是我计算过程出现错误而已。
在面对“100，53，47”时，由于计算过于繁琐，乐乐和我干脆减法、除法以及发现“拐点”一起用上，直接进入纯计算模式，但是此题过于繁琐，最终没有推到到实际结果，但是那已经不重要了，因为我们直观地感觉到，如果用计算机计算，最终一定能找到结果，只是一个计算次数问题。
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正当我们隐隐觉得此类题目都应该有解时，小莹抛出一组数据“10，2，8”，我一想，顿觉奇妙，这一组数据无解啊！看官，请停下来想一想，这组简单的数据怎么就无解了呢？
证明无解过程如下：把10平均分成2份，每份是5，5是一个奇数（单数），而2和8是偶数（双数），2和8无论如何运算，也无法得出奇数，所以此题无解。
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思路一旦打开，立刻用用奇数、偶数来说明一下前面题目有解情况的原因。
（1）“8，5，3”用到的奇数、偶数关系：
5-3=2用到“奇数-奇数=偶数”，
3-2=1和5-1=4用到“奇数-偶数=奇数”。
（2）“10、7、3”用到的奇数、偶数关系：
7-3=4用到“奇数-奇数=偶数”，
4-3=1用到“偶数-奇数=奇数”；
7-1=6用到“奇数-奇数=偶数”；
6-1=5用到“偶数-奇数=奇数”。
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今天早晨梳理时，忽然发现乐乐的方法“小杯往大杯里倒的方法”【第二种方法】不仅行得通的，而且是“大杯往小杯里倒的”逆运算。
举例来说“12、7、5”的第二种方法用表格表示如下：
这种方法和“小杯往大杯倒”【第一种方法】做个对比：
你会发现：
“小杯往大杯里倒”最后出现的是“5+1=6”；
“大杯往小杯里倒”最后出现的是“7-1=6”；
这和琴老师最初设定的“12÷2=6，7-1=5+1”是统一的。
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啰里啰唆地说了这两天地零碎想法，我知道，一定有大家能高屋建瓴地梳理出更棒思路，不过，这些思考做为有益地探索，也算蛮好玩的。
感谢琴老师给我了这么多探究的乐趣，只有教学该如何设计，这又是另一个问题，暂且悬置，不敢妄论，然亦不敢忘，故记录之。
2019年3月31日星期日于郑州龙美小学
