导函数的简单求法

在函数上取适当的点，可以求得此处的斜率。但是这样的话，就必须逐一计算各点的导数，很麻烦。要是能对曲线整体“简单地”求导就好了。

数学中有公式这种工具，使用它只要代入数字就能得到答案。

做任何工作都应事先准备好各种工具以提高效率。就像修车需要螺丝刀和扳手一样，要高效熟练地运算导数，也要事先准备好工具，这样才更便于计算。下面我们就来介绍导数公式。

讲解之前希望各位了解一件事。公式虽然是方便的工具，但也有人会“公式中毒”，从一开始就死背公式。在他们看来，“对公式的理解可以暂且放在一边，只要把公式背下来套用就可以了”。有些人从中学开始就数学中毒，但这样的数学学习与驯猴无异，其结果将很悲惨。

我们是人类，所以要好好思考。虽然理解自己使用的工具会费些工夫，但遇到问题时，你会发现“了解工具”所带来的帮助远远大于你为此付出的努力。

导数的基本公式

接下来我们还要继续谈一下导数公式的问题，请认真看。

刚才已经讲了，公式是工具，学习导数需要3个基本公式。没有公式怎么办，可以昨天学习的求导函数的方法来求就是下面这个东西
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
（注意昨天课上介绍的经验，先求y的变化量，再求平均变化率，再求极限，这样可以少写几几个lim,你不就是想这样吗？）

它能解决所有的求导问题。不过，如果你想更加简便地解决导数问题，还是尽可能掌握运算工具为好。

下面这些都是关于x的求导公式。f（x）和g（x）都是关于x的函数。
求导的基本公式

1. $\mathrm{p}^{\prime}=0$ （p为常数）
2. $(p x)^{\prime}=p$ （p为常数）
3. $\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=f(x)+g^{\prime}(x)$
常函数的导数是0，昨天我写的什么是导函数里面有介绍，还求了其他几个常见函数的导函数，你要是完全忘了，就点这里

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求导最基本的工具

下面我们介绍一下最基本的工具—y=p，y=px（p为常数）的求导公式。

前面我们仅就曲线函数的导数加以说明，这并不是说直线函数不能求导。实际上，直线函数的求导与曲线函数思路相同，只是求导对直线函数求导意义不大或没有必要。因此，我们不予考虑。

原本导数是用来求某一点的斜率的。曲线图形不断变化，要探究某一点的斜率很难。但是对直线来说，无论选择哪一点，直线的斜率都一样。

因此无需考虑直线的导函数，直接使用导函数计算公式就可以了。

我们之所以用极限的理念求曲线上某一点的斜率，是因为无法通过在曲线上选取两点求斜率。直线任选两点就能求出其斜率，没有必要求导。

我想你已经理解了上述阐述。对以x为自变量的函数y=p，y=px（p为常数）关于x求导，实际就是求直线的斜率，它们原来的斜率就是0和p，因此对y=p求导的结果为0，对y=px求导的结果为p。

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函数和的求导公式

下面我们要确认一下，对两个函数的和——f（x）+g（x）——求导，会得到 $f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)$ 。关于x对f（x）求导得到
$f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
因此，关于x对f（x）+g（x）求导，得到
$\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\{f(x+h)+g(x+h)\}-\{f(x)+g(x)\}}{h}$
整理算式，得到
$\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\{f(x+h)-f(x)\}+\{g(x+h)-g(x)\}}{h}$
再次整理算式，得到
$\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=\lim _{h \rightarrow 0}\left\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}$
也就是
$\{f(x)+g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)$
可能有人感觉头疼，我再总结一下，简单来说，就是“加法与求导先做哪个都可以”！

但该函数和的求导公式非常重要。没有该公式，求导就像乘坐没有车轮的汽车，无法前行。它使用起来很方便。

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有了上面的三个基本公式你是不是感觉导数运算正在变得简单快捷起来。
咱们的课本在这一块的设计有点问题，是直接告诉你一大堆求导公式和法则，有点强人所难。
我会慢慢给大家介绍这些公式和法则怎么来的，今天我们先把这些内容用起来。
你可以参考课本的内容，了解这些法则（直接告诉你，你不如看我上次归纳的内容，点击这里）
另外对于复合函数的求导，我今天还要专门写一篇，和书上讲的不太一样，哪一种更能让你理解的好一点，记得牢，记得请就用哪一种）
以上内容用时50分钟（感谢《7天搞定微积分》/[日]石山平，[日]大上丈彦著：李巧商译，他们的微积分教学设计真的太好了。大家将来有时间一定买这本书再看看。）
好了，我要休息一会儿。