1. 模型
常见的线性规划模型如下：
max z = cx
s.t. Ax = b
2. 求解步骤
假设B是基变量集合，通过矩阵的线性变换，基变量可由非基变量表示：
x'i = ci + Σj∉Bmi,jx'j （i∈B）
目标函数z也可以完全由非基变量表示：
z = z0 + Σj∉Bcjx'j
当达到最优解时，目标函数中所有的系数c≤0，这样非基变量等于0时，目标函数可以取到最大值。以此为目标，每次将最大的正系数max{ci}对应的非基变量替换为基变量，同时将min{bj/ai,j}对应的基变量替换为非基变量。这个进基/出基的过程称为pivoting。
3. python算法实现
这里假设原问题都是小于等于约束，这样添加松弛变量之后，问题一定有初始可行解；同时假设问题存在有限最优解。特殊情况将在下一节进行处理。代码为：
import numpy as np
def pivot():
l = list(d[0][:-2])
jnum = l.index(max(l)) #转入编号
m = []
for i in range(bn):
if d[i][jnum] == 0:
m.append(0.)
else:
m.append(d[i][-1]/d[i][jnum])
inum = m.index(min([x for x in m[1:] if x!=0])) #转出下标
s[inum-1] = jnum
r = d[inum][jnum]
d[inum] /= r
for i in [x for x in range(bn) if x !=inum]:
r = d[i][jnum]
d[i] -= r * d[inum]
def solve():
flag = True
while flag:
if max(list(d[0][:-1])) <= 0: #直至所有系数小于等于0
flag = False
else:
pivot()
def printSol():
for i in range(cn - 1):
if i in s:
print("x"+str(i)+"=%.2f" % d[s.index(i)+1][-1])
else:
print("x"+str(i)+"=0.00")
print("objective is %.2f"%(-d[0][-1]))
调用的例子：
d = np.loadtxt("data.txt", dtype=np.float)
(bn,cn) = d.shape
s = list(range(cn-bn,cn-1)) #基变量列表
solve()
printSol()
data.txt文件中的内容为：
1 14 6 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 4
1 0 0 0 1 0 0 2
0 0 1 0 0 1 0 3
0 3 1 0 0 0 1 6
代表的求解模型是：
max z = x0+14*x1+6*x2
s.t.
x0 + x1 + x2 <= 4
x0 <= 2
x2 <= 3
3*x1 + x2 <= 6
运行后输出结果为：
x0=0.00
x1=1.00
x2=3.00
x3=0.00
x4=2.00
x5=0.00
x6=0.00
objective is 32.00
4. 后感
将simplex用代码写出来，才觉得以前纠结那么久的问题原来那么简单。两三行代码能说清楚的事，何必写一堆看得人眼花缭乱的数学公式呢。
另外，线性规划还有一些很基础的理论要掌握好：
- 极点和极方向的理论，这个是单纯型法的理论基础。可以参考https://wenku.baidu.com/view/1a60ce6125c52cc58bd6be23.html
- 对偶理论，这个在以后经常会用到。
