几何法证明空间中的垂直关系

立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.


几何法证明空间中的垂直关系

方法一 几何法

使用情景：转化的直线或平面比较容易找到
解题步骤：

第一步 按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；
第二步 找到关键的直线或平面；
第三步 得出结论.
【例1】、如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60^\circ，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC\cap EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥P-ABEFD，且PB=\sqrt{10}.

求证：BD\bot平面POA；

【证明】

\because点E，F分别是边CD，CB的中点，

\therefore BD∥ EF，

\because菱形ABCD的对角线互相垂直，\therefore BD \bot AC，

\therefore EF\bot AC，

\therefore EF \bot AO，EF\bot PO

\because AO \subset平面POA，PO \subset平面POA，AO \cap PO=O，

\therefore EF \bot平面POA，

\therefore BD\bot平面POA.

【例2】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为等腰梯形，E为PD中点，PA\bot平面ABCD，AD ∥BC，AC\bot BD，AD=2，BD=4．

证明：平面EBD \bot平面PAC.

【证明】

\because PA\bot平面ABCD，BD \subset平面ABCD

所以PA \bot BD

又因为AC\bot BD，PA\cap AC=A

\therefore BD \bot平面PAC，而BD \subset平面EBD

\therefore平面EBD \bot平面PAC.

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