固物入门2-晶体的结合

——晶体中的结合力本质上都是库仑力,不同粒子由于电负性不一样(电负性影响电荷分布),导致有不同的结合类型(范氏结合,共价结合,离子结合,金属结合等)。晶体中的库仑力达到平衡才能稳定存在。

一、结合力结合能

1. 电负性:衡量粒子对电子的吸引能力。由电离能和亲和能来运算。

2. 互作用力:f(r)=-\frac{du}{dr}=-(\frac{mA}{r^{m+1}}-\frac{nB}{r^{n+1}})

3. 互作用势能的经验表示:u(r)=-\frac{A}{r^m}+\frac{B}{r^n} (左边表示吸引势,右边为排斥势)

平衡时:(\frac{du}{dr})_{r_{0}}=0, \ \ (\frac{d^2u}{dr^2})_{r_{0}}>0

4. 总互作用势能:U=\frac{N}{2}\sum_ju(r_j) (其中r_j为选定原点后,其他原子相对于原点原子的距离)

二、具体的结合力结合能

1. 分子力结合

1.1 极性与极性分子吸引势:u(r)=-\frac{p_1p_2}{2\pi\varepsilon _0r^3}

1.2 极性与非极性吸引势:u(r)=-\frac{\alpha p_1^2}{4\pi^2\varepsilon _0^2r^6}

1.3 非极性与非极性:

1.3.1 吸引势:(其中一个先产生瞬时偶极矩然后诱导另一个,与极性非极性类似)

u(r)=-\frac{A}{r^6}

1.3.2 惰性气体的势能:(排斥势与r^{12}成反比)

u(r)=-\frac{A}{r^6}+\frac{B}{r^{12}}\implies u(r)=4\varepsilon [(\frac{\sigma }{r})^{12}-(\frac{\sigma }{r})^6)

 (其中\varepsilon  =\frac{A^2}{4B},\ \ \  \sigma= (\frac{B}{A})^{\frac{1}{6}}) 

1.3.3 总的势能:

U=\frac{N}{2}\sum_ju(r_j)=\frac{N}{2}\sum_j\{4\varepsilon [(\frac{\sigma }{r_j})^{12}-(\frac{\sigma }{r_j})^6] \}\implies U(R)=2N\varepsilon [A_{12}(\frac{\sigma }{R})^{12}-A_6(\frac{\sigma }{R})^6] 

(其中r_j=a_jR,  \ \ A_{12}=\sum_j\frac{1}{a_j^{12}}, \ \ A_6=\sum_j\frac{1}{a_j^{6}}

要求出具体势能的表达式,需要测出 \varepsilon, \sigma ,A_{12}, A_6,需要在微观量和宏观量建立一些桥梁。

2. 共价结合

电子是费米子,波函数满足交换反对称。当两个氢原子的电子满足自旋相反时,存在一个能量最低值,这个就是一种可以稳定存在的形式。

3.离子结合

3.1 两离子的互作用势的形式为:

u(r)=\mp \frac{e^2}{4\pi\varepsilon _0r}+\frac{b}{r^n}

3.2 总互作用能为:

U=\frac{N}{2}\sum_ju(r_j)=\frac{N}{2}\sum_j\{\mp \frac{e^2}{4\pi\varepsilon _0r}+\frac{b}{r^n} \} \ \implies

U(R)=-\frac{N}{2}(\frac{\mu e^2}{4\pi\varepsilon _0R}-\frac{B}{R^n}) (其中r_j=a_jR,  \ \ \mu =\sum_j\pm \frac{1}{a_j}, \ \ B=\sum_j\frac{b}{a_j^{n}}

同样,需要测出\mu ,b,n才能知道具体的表达式。

三、具体的表达式

对于惰性分子力结合的A_{12}, A_6以及离子结合的\mu ,跟具体的晶体结构有关,那么用X射线探测出具体结构这三个参数就搞定了。现在分别还有两个参数,利用

(\frac{dU}{dR})_{R_0}=0 (R_0由X射线测出)

K=\frac{1}{9\lambda R_0}(\frac{\partial^2U}{\partial R^2})_{R_0} (K是弹性模量由实验测出,\lambda 满足V=\lambda R^3由具体结构决定)

这两个式子就能得出其他两个变量,那么就可以得出总势能的具体表达式了。

四、思考题

1. 上述在推出K跟U的关系时,做了一个假定:内能就是总相互作用势能。这个条件在什么情况下可以视为成立?

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