什么是粗糙集(六)

本节我们将继续介绍粗糙集有关的概念。

上节我们介绍了知识粒度的矩阵表示形式，本节将介绍基于知识粒度属性约简定义和算法。

基于粗糙特征选择算法亦称为属性约简，其旨在保持数据集分类能力不变的前提下，通过约简冗余属性，最后得到问题的决策或分类规则。

相关定义

设决策信息系统 $S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$ ， $B \subseteq C$ ，如果 $B$ 为 $S$ 的最小属性约简，则：
$GP_{U}(D \mid B)=GP_{U}(D\mid C)$

$\forall a \in B,\quad GP_{U}(D \mid B -\{a\})\not= GP_{U}(D \mid B)$

第一个式子保证了约简集 $B$ 有着与全体条件属性集 $C$ 相同的划分能力；而第二个条件保证了约简集 $B$ 内没有冗余属性。

近似分类精度的定义如下：
设决策信息系统 $S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$ ， $\forall X \subseteq U$ ， $R$ 是一个等价关系，则集合 $X$ 关于等价关系 $R$ 的近似分类精度为：
$\alpha_{R}(X)=\frac{|\underline{R}X|}{|\overline{R}X|}$

其粗糙度为：
$\rho_{R}(X)=1-\alpha_{R}(X)$

近似分类质量的定义如下：
设决策信息系统 $S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$ ， $\forall X \subseteq U$ ， $R$ 是一个等价关系，则集合 $X$ 关于等价关系 $R$ 的近似分类质量为：
$\gamma_{R}(X) =\frac{|\underline{R}X|}{|U|}$
或者说
决策信息系统 $S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$ ， $\forall X \subseteq U$ ， $R=\{X_{1},X_{2},...,X_{m}\}$ 是论域 $U$ 的一个划分，将 $R$ 的上近似和下近似分别定义为：
$\overline{R}X=\{\overline{R}X_{1},\overline{R}X_{2},...,\overline{R}X_{m} \}$

$\underline{R}X=\{\underline{R}X_{1},\underline{R}X_{2},...,\underline{R}X_{m} \}$

则 $R$ 的近似分类精度：
$\alpha_{R}(X)=\frac{\sum^{m}_{i=1}|\underline{R}X_{i}|}{\sum_{i=1}^{m}|\overline{R}X_{i} |}$

近似分类质量：
$\gamma_{R}(X) =\frac{\sum_{i=1}^{m}|\underline{R}X_{i}|}{|U|}$

特别地，若等价关系 $R$ 是被决策属性集 $D$ 划分的， $U/D=\{X_{1},X_{2},...,X_{m} \}$ ， $\forall X \subseteq U$ ，则 $D$ 的近似分类精度为：
$\alpha_{R}(D)=\frac{POS_{R}(D)} {\sum_{i=1}^{m}|\overline{R}X_{i} |}$

近似分类质量：
$\gamma_{R}(D) =\frac{POS_{R}(D)}{|U|}$

对于这种情况，我们先看一个例子，若
$U/D=\{X_1,X_2 \}=\{\{e_{1},X_1e_{4},e_{5},e_{8}\},\{e_2,e_3,e_6,e_7 \} \}$

考虑论域 $U$ 对条件属性集 $C$ 划分的等价关系 $R$
$U/C=\{\{e_1\},\{e_2\},\{e_3\},\{e_4\},\{e_5,e_7\},\{e_6,e_8\} \}$

下近似：
$\underline{R}X_1=\{e_1,e_4\}$

$\underline{R}X_2=\{e_2,e_3\}$

近似分类质量：
$\gamma_{R}(D)=\frac{|\underline{R}X_1|+|\underline{R}X_2|}{|U|}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

再来看之前的一个例子：
$S=(U,A=C \bigcup D,V,f)$ 是一个决策信息系统，考虑条件属性 $C$ 对论域 $U$ 划分的等价关系 $R$ ， $U/C=\{\{e_{3},e_{6} \},\{e_{2},e_{5} \},\{e_{1},e_{4} \} \}$ ，集合 $X=\{e_{1},e_{2},e_{4}\}$ ，显然 $X$ 是一个粗糙集，则：
$\underline{R}X=\{e_{1},e_{4}\} \quad \overline{R}X=\{e_{1},e_{2},e_{4},e_{5}\}$