多元函数大题

一、多元函数大题

1. 简单极值问题（\Delta法）

解题步骤：

  1. 列方程组\begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}=0\end{cases}，求出所有驻点。
  2. 对于每个驻点分别计算A=\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}，B=\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}，C=\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}和\Delta=A^2-BC>0则存在极值，且A>0为极小值。

2. 困难极值问题（定义法）

3. 求原函数：

解题步骤：

  1. 可以向上一题一样：先积分再求导
  2. 也可以利用z^{''}_{xy}=z^{''}_{yx}列出方程关系然后解微分方程得原函数（前提是这两个二阶混合偏导在区域D内都连续）
  • 方向导数计算公式：\frac{\partial u}{\partial l}|_{P_0}=u_x^{'}(P_0)cos\alpha+u_y^{'}(P_0)cos\beta+u_z^{'}(P_0)cos\gamma （只需要计算方向l的方向余弦、三元函数u在该点处的偏导）

4. 隐函数求导法

  1. 公式法：直接求出偏导
  2. 复合函数求导法：题目要求什么偏导，就对所有的方程求偏导，解方程组解出偏导
  3. 利用全微分形式不变性：求全微分的过程当中，自动求出偏导。
  • 这里把y(x)看作是由F(x,y)决定的隐函数。y^{'}=-\frac{F^{'}_x}{F^{'}_y}
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