在本周作业中，我们要做三件事，也就是初始化、正则化、梯度校验。其中每个部分要做的事分别是：
1.初始化参数：
（1）使用0来初始化参数
（2）使用随机数来初始化参数
（3）使用抑梯度一场初始化参数
2.正则化模型：
（1）使用二范数对二分类模型正则化，尝试避免过拟合
（2）使用随机删除节点的方法精简模型，同样是为了尝试避免过拟合
3.梯度校验：
（1）对模型使用梯度校验，检测它是否在梯度下降的过程中出现误差过大的情况
完整代码附后
准备阶段
首先导入初始库:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sklearn
import sklearn.datasets
import init_utils #第一部分，初始化
import reg_utils #第二部分，正则化
import gc_utils #第三部分，梯度校验
#%matplotlib inline #如果你使用的是Jupyter Notebook，请取消注释。
plt.rcParams['figure.figsize'] = (7.0, 4.0) # set default size of plots
plt.rcParams['image.interpolation'] = 'nearest'
plt.rcParams['image.cmap'] = 'gray'
初始化参数
初始化之前，先看一下数据集的形式：
读取并绘制数据
train_X, train_Y, test_X, test_Y = init_utils.load_dataset(is_plot=True)
plt.show()
数据结果
我们要做的就是将图片中的红色蓝色点分开，我们用之前实现过的3层神经网络，我们对它进行初始化：
我们使用下列三种方式来对它进行初始化：
（1）初始化为0，在输入参数中全部初始化为0，参数名为initialization=“zeros”，核心代码：
parameters['W' + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], layers_dims[l - 1]))
（2）初始化为随机数：把输入参数设置为随机值，权重初始化为大的随机值。参数名为initialization = “random”，核心代码：
parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1]) * 10
（3）抑梯度异常初始化：参见梯度消失和梯度爆炸的那一个视频，参数名为initialization = “he”，核心代码：
parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1]) * np.sqrt(2 / layers_dims[l - 1])
首先来看我们模型是怎样的：
def model(X,Y,learning_rate=0.01,num_iterations=15000,print_cost=True,initialization="he",is_polt=True):
"""
实现一个三层的神经网络：LINEAR ->RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
参数：
X - 输入的数据，维度为(2, 要训练/测试的数量)
Y - 标签，【0 | 1】，维度为(1，对应的是输入的数据的标签)
learning_rate - 学习速率
num_iterations - 迭代的次数
print_cost - 是否打印成本值，每迭代1000次打印一次
initialization - 字符串类型，初始化的类型【"zeros" | "random" | "he"】
is_polt - 是否绘制梯度下降的曲线图
返回
parameters - 学习后的参数
"""
grads = {}
costs = []
m = X.shape[1]
layers_dims = [X.shape[0],10,5,1]
#选择初始化参数的类型
if initialization == "zeros":
parameters = initialize_parameters_zeros(layers_dims)
elif initialization == "random":
parameters = initialize_parameters_random(layers_dims)
elif initialization == "he":
parameters = initialize_parameters_he(layers_dims)
else :
print("错误的初始化参数！程序退出")
exit
#开始学习
for i in range(0,num_iterations):
#前向传播
a3 , cache = init_utils.forward_propagation(X,parameters)
#计算成本
cost = init_utils.compute_loss(a3,Y)
#反向传播
grads = init_utils.backward_propagation(X,Y,cache)
#更新参数
parameters = init_utils.update_parameters(parameters,grads,learning_rate)
#记录成本
if i % 1000 == 0:
costs.append(cost)
#打印成本
if print_cost:
print("第" + str(i) + "次迭代，成本值为：" + str(cost))
#学习完毕，绘制成本曲线
if is_polt:
plt.plot(costs)
plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('iterations (per hundreds)')
plt.title("Learning rate =" + str(learning_rate))
plt.show()
#返回学习完毕后的参数
return parameters
模型看完之后，现在尝试三种初始化功能：
初始化为零
def initialize_parameters_zeros(layers_dims):
"""
将模型的参数全部设置为0
参数：
layers_dims - 列表，模型的层数和对应每一层的节点的数量
返回
parameters - 包含了所有W和b的字典
W1 - 权重矩阵，维度为（layers_dims[1], layers_dims[0]）
b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[1],1）
···
WL - 权重矩阵，维度为（layers_dims[L], layers_dims[L -1]）
bL - 偏置向量，维度为（layers_dims[L],1）
"""
parameters = {}
L = len(layers_dims) #网络层数
for l in range(1,L):
parameters["W" + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l],layers_dims[l-1]))
parameters["b" + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l],1))
#使用断言确保我的数据格式是正确的
assert(parameters["W" + str(l)].shape == (layers_dims[l],layers_dims[l-1]))
assert(parameters["b" + str(l)].shape == (layers_dims[l],1))
return parameters
测试一下：
parameters = initialize_parameters_zeros([3,2,1])
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))
测试结果：
W1 = [[0. 0. 0.]
[0. 0. 0.]]
b1 = [[0.]
[0.]]
W2 = [[0. 0.]]
b2 = [[0.]]
现在w和b全部初始化为零，那么我们使用这些参数来训练模型，试一下结果怎么样：
parameters = model(train_X, train_Y, initialization = "zeros",is_polt=True)
测试结果如下：
第0次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第1000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第2000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第3000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第4000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第5000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第6000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第7000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第8000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第9000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第10000次迭代，成本值为：0.6931471805599455
第11000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第12000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第13000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
第14000次迭代，成本值为：0.6931471805599453
误差函数
从上图中我们可以看出学习率并没有变化，也就是说这个模型没有学习任何东西，现在来看一下预测结果：
print ("训练集:")
predictions_train = init_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)
print ("测试集:")
predictions_test = init_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)
结果如下：
训练集:
Accuracy: 0.5
测试集:
Accuracy: 0.5
由测试结果可知，测试性能很差，并且成本并没有真正降低，算法的性能也比随机猜测要好一点，具体细节让我们看下预测和决策边界的细节：
print("predictions_train = " + str(predictions_train))
print("predictions_test = " + str(predictions_test))
plt.title("Model with Zeros initialization")
axes = plt.gca()
axes.set_xlim([-1.5, 1.5])
axes.set_ylim([-1.5, 1.5])
init_utils.plot_decision_boundary(lambda x: init_utils.predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y)
结果如下：
predictions_train = [[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]]
predictions_test = [[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]]
分类结果
分类失败，该模型预测每个都是0，通常来说，零初始化会导致神经网络无法打破对称性，最终导致的结果就是无论网络有多少层，最终只能得到和logistic函数相同的结果。
随机初始化
为了打破对称性，我们可以把参数随机赋值，在随机初始化之后，每个神经元可以开始学习其输入的不同功能。
def initialize_parameters_random(layers_dims):
"""
参数：
layers_dims - 列表，模型的层数和对应每一层的节点的数量
返回
parameters - 包含了所有W和b的字典
W1 - 权重矩阵，维度为（layers_dims[1], layers_dims[0]）
b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[1],1）
···
WL - 权重矩阵，维度为（layers_dims[L], layers_dims[L -1]）
b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[L],1）
"""
np.random.seed(3) # 指定随机种子
parameters = {}
L = len(layers_dims) # 层数
for l in range(1, L):
parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1]) * 10 #使用10倍缩放
parameters['b' + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))
#使用断言确保我的数据格式是正确的
assert(parameters["W" + str(l)].shape == (layers_dims[l],layers_dims[l-1]))
assert(parameters["b" + str(l)].shape == (layers_dims[l],1))
return parameters
然后测试一下：
parameters = initialize_parameters_random([3, 2, 1])
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))
测试结果：
W1 = [[ 17.88628473 4.36509851 0.96497468]
[-18.63492703 -2.77388203 -3.54758979]]
b1 = [[0.]
[0.]]
W2 = [[-0.82741481 -6.27000677]]
b2 = [[0.]]
然后训练预测试：
parameters = model(train_X, train_Y, initialization = "random",is_polt=True)
print("训练集：")
predictions_train = init_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)
print("测试集：")
predictions_test = init_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)
print(predictions_train)
print(predictions_test)
预测结果：
训练集：
Accuracy: 0.83
测试集：
Accuracy: 0.86
[[1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0
1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1
1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0]]
[[1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0]]
然后我们将图绘制出来：
plt.title("Model with large random initialization")
axes = plt.gca()
axes.set_xlim([-1.5, 1.5])
axes.set_ylim([-1.5, 1.5])
init_utils.plot_decision_boundary(lambda x: init_utils.predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y)
绘制结果
误差函数
从上图我们可以看到误差开始很高。这是由于具有较大的随机权重，最终的激活（sigmoid）输出的结果非常接近于0或者1，而当它出现错误时，他会导致非常高的损失。初始化参数如果没有很好的话会导致梯度消失、爆炸，这也会减慢优化算法。如果我们对这个网络进行更长时间的训练，我们将看到更好的结果，但是使用过大的随机数初始化会减慢优化的速度。
所以在将权重初始化的时候，初始化的值非常大的效果并不好，下面我们来试一下小一点的参数。
抑梯度异常初始化
我们初始化参数的时候使用公式如下：
抑梯度异常公式
def initialize_parameters_he(layers_dims):
"""
参数：
layers_dims - 列表，模型的层数和对应每一层的节点的数量
返回
parameters - 包含了所有W和b的字典
W1 - 权重矩阵，维度为（layers_dims[1], layers_dims[0]）
b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[1],1）
···
WL - 权重矩阵，维度为（layers_dims[L], layers_dims[L -1]）
b1 - 偏置向量，维度为（layers_dims[L],1）
"""
np.random.seed(3) # 指定随机种子
parameters = {}
L = len(layers_dims) # 层数
for l in range(1, L):
parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1]) * np.sqrt(2 / layers_dims[l - 1])
parameters['b' + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))
#使用断言确保我的数据格式是正确的
assert(parameters["W" + str(l)].shape == (layers_dims[l],layers_dims[l-1]))
assert(parameters["b" + str(l)].shape == (layers_dims[l],1))
return parameters
测试代码如下：
parameters = initialize_parameters_he([2, 4, 1])
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))
parameters = model(train_X, train_Y, initialization = "he",is_polt=True)
print("训练集:")
predictions_train = init_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)
print("测试集:")
init_utils.predictions_test = init_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)
测试结果如下：
W1 = [[ 1.78862847 0.43650985]
[ 0.09649747 -1.8634927 ]
[-0.2773882 -0.35475898]
[-0.08274148 -0.62700068]]
b1 = [[0.]
[0.]
[0.]
[0.]]
W2 = [[-0.03098412 -0.33744411 -0.92904268 0.62552248]]
b2 = [[0.]]
第0次迭代，成本值为：0.8830537463419761
第1000次迭代，成本值为：0.6879825919728063
第2000次迭代，成本值为：0.6751286264523371
第3000次迭代，成本值为：0.6526117768893807
第4000次迭代，成本值为：0.6082958970572938
第5000次迭代，成本值为：0.5304944491717495
第6000次迭代，成本值为：0.4138645817071795
第7000次迭代，成本值为：0.31178034648444414
第8000次迭代，成本值为：0.2369621533032257
第9000次迭代，成本值为：0.18597287209206845
第10000次迭代，成本值为：0.1501555628037181
第11000次迭代，成本值为：0.12325079292273548
第12000次迭代，成本值为：0.09917746546525937
第13000次迭代，成本值为：0.08457055954024273
第14000次迭代，成本值为：0.07357895962677366
训练集:
Accuracy: 0.9933333333333333
测试集:
Accuracy: 0.96
通过上述的公式带入，初始值都变得很小，通过训练，准确率有了明显的提高。接下来绘制一下预测情况：
plt.title("Model with He initialization")
axes = plt.gca()
axes.set_xlim([-1.5, 1.5])
axes.set_ylim([-1.5, 1.5])
init_utils.plot_decision_boundary(lambda x: init_utils.predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y)
模型训练结果
由上图可知，该模型训练的结果已经变得非常不错了。
初始化的模型将蓝色和红色的点在少量的迭代中很好地分离出来，总结一下：
1.不同的初始化方法可能导致性能最终不同
2.随机初始化有助于打破对称，使得不同隐藏层的单元可以学习到不同的参数。
3.初始化时，初始值不宜过大。
4.He初始化搭配ReLU激活函数常常可以得到不错的效果。
正则化模型
在深度学习中，如果数据集没有足够大的话，可能导致一些过拟合的问题。过拟合就是在训练集上精确度很高，但是在测试集上精确度却不高。正则化模型则恶能够有效的避免过拟合。
Problem Statement: You have just been hired as an AI expert by the French Football Corporation. They would like you to recommend positions where France’s goal keeper should kick the ball so that the French team’s players can then hit it with their head.
读取并绘制数据集
我们加载并查看一下我们的数据集：
train_X, train_Y, test_X, test_Y = reg_utils.load_2D_dataset(is_plot=True)
查看结果：
数据集模型
每一个点代表球落下的可能的位置，蓝色代表已方球员会抢到球，红色代表对手的球员会抢到球，我们要做的就是使用模型来画一条线，来找到适合我方球员能抢到球的位置。
我们要做以下三件事，来对比出不同的模型的优劣：
1.不使用正则化
2.使用正则化
（1）使用L2正则化
（2）使用随机节点删除
我们来看下模型：
正则化模式：将lambd输入设置为非零值
随机删除节点：将keep_prob设置为小于1的值
def model(X,Y,learning_rate=0.3,num_iterations=30000,print_cost=True,is_plot=True,lambd=0,keep_prob=1):
"""
实现一个三层的神经网络：LINEAR ->RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
参数：
X - 输入的数据，维度为(2, 要训练/测试的数量)
Y - 标签，【0(蓝色) | 1(红色)】，维度为(1，对应的是输入的数据的标签)
learning_rate - 学习速率
num_iterations - 迭代的次数
print_cost - 是否打印成本值，每迭代10000次打印一次，但是每1000次记录一个成本值
is_polt - 是否绘制梯度下降的曲线图
lambd - 正则化的超参数，实数
keep_prob - 随机删除节点的概率
返回
parameters - 学习后的参数
"""
grads = {}
costs = []
m = X.shape[1]
layers_dims = [X.shape[0],20,3,1]
#初始化参数
parameters = reg_utils.initialize_parameters(layers_dims)
#开始学习
for i in range(0,num_iterations):
#前向传播
##是否随机删除节点
if keep_prob == 1:
###不随机删除节点
a3 , cache = reg_utils.forward_propagation(X,parameters)
elif keep_prob < 1:
###随机删除节点
a3 , cache = forward_propagation_with_dropout(X,parameters,keep_prob)
else:
print("keep_prob参数错误！程序退出。")
exit
#计算成本
## 是否使用二范数
if lambd == 0:
###不使用L2正则化
cost = reg_utils.compute_cost(a3,Y)
else:
###使用L2正则化
cost = compute_cost_with_regularization(a3,Y,parameters,lambd)
#反向传播
##可以同时使用L2正则化和随机删除节点，但是本次实验不同时使用。
assert(lambd == 0 or keep_prob ==1)
##两个参数的使用情况
if (lambd == 0 and keep_prob == 1):
### 不使用L2正则化和不使用随机删除节点
grads = reg_utils.backward_propagation(X,Y,cache)
elif lambd != 0:
### 使用L2正则化，不使用随机删除节点
grads = backward_propagation_with_regularization(X, Y, cache, lambd)
elif keep_prob < 1:
### 使用随机删除节点，不使用L2正则化
grads = backward_propagation_with_dropout(X, Y, cache, keep_prob)
#更新参数
parameters = reg_utils.update_parameters(parameters, grads, learning_rate)
#记录并打印成本
if i % 1000 == 0:
## 记录成本
costs.append(cost)
if (print_cost and i % 10000 == 0):
#打印成本
print("第" + str(i) + "次迭代，成本值为：" + str(cost))
#是否绘制成本曲线图
if is_plot:
plt.plot(costs)
plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('iterations (x1,000)')
plt.title("Learning rate =" + str(learning_rate))
plt.show()
#返回学习后的参数
return parameters
首先我们看下不使用正则化下的模型效果：
parameters = model(train_X, train_Y,is_plot=True)
print("训练集:")
predictions_train = reg_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)
print("测试集:")
predictions_test = reg_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)
模型结果：
第0次迭代，成本值为：0.6557412523481002
第10000次迭代，成本值为：0.16329987525724218
第20000次迭代，成本值为：0.13851642423264765
训练集:
Accuracy: 0.9478672985781991
测试集:
Accuracy: 0.915
成本曲线图
我们可以看出，对于训练集，精确度为94.7%；但是对于测试集，精确度却才91.5%。接下来，我们将模型分割曲线画出来：
从图中可以看出，在没有正则化的时候，分割曲线有明显的过拟合特性。接下来，我们使用L2正则化：
#####使用正则化
L2正则化
避免过度拟合的标准方法称为L2正则化，它包括适当修改你的成本函数，如下公式所示：
需要注意的是在前向传播中对W的操作，要将这三层网络的W相加并乘以（1/m+lambd/2）。在后向传播中，使用
def compute_cost_with_regularization(A3,Y,parameters,lambd):
"""
实现公式2的L2正则化计算成本
参数：
A3 - 正向传播的输出结果，维度为（输出节点数量，训练/测试的数量）
Y - 标签向量，与数据一一对应，维度为(输出节点数量，训练/测试的数量)
parameters - 包含模型学习后的参数的字典
返回：
cost - 使用公式2计算出来的正则化损失的值
"""
m = Y.shape[1]
W1 = parameters["W1"]
W2 = parameters["W2"]
W3 = parameters["W3"]
cross_entropy_cost = reg_utils.compute_cost(A3,Y)
L2_regularization_cost = lambd * (np.sum(np.square(W1)) + np.sum(np.square(W2)) + np.sum(np.square(W3))) / (2 * m)
cost = cross_entropy_cost + L2_regularization_cost
return cost
当然，因为改变了成本函数，我们也必须改变向后传播的函数， 所有的梯度都必须根据这个新的成本值来计算。
def backward_propagation_with_regularization(X, Y, cache, lambd):
"""
实现我们添加了L2正则化的模型的后向传播。
参数：
X - 输入数据集，维度为（输入节点数量，数据集里面的数量）
Y - 标签，维度为（输出节点数量，数据集里面的数量）
cache - 来自forward_propagation（）的cache输出
lambda - regularization超参数，实数
返回：
gradients - 一个包含了每个参数、激活值和预激活值变量的梯度的字典
"""
m = X.shape[1]
(Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache
dZ3 = A3 - Y
dW3 = (1 / m) * np.dot(dZ3,A2.T) + ((lambd * W3) / m )
db3 = (1 / m) * np.sum(dZ3,axis=1,keepdims=True)
dA2 = np.dot(W3.T,dZ3)
dZ2 = np.multiply(dA2,np.int64(A2 > 0))
dW2 = (1 / m) * np.dot(dZ2,A1.T) + ((lambd * W2) / m)
db2 = (1 / m) * np.sum(dZ2,axis=1,keepdims=True)
dA1 = np.dot(W2.T,dZ2)
dZ1 = np.multiply(dA1,np.int64(A1 > 0))
dW1 = (1 / m) * np.dot(dZ1,X.T) + ((lambd * W1) / m)
db1 = (1 / m) * np.sum(dZ1,axis=1,keepdims=True)
gradients = {"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3, "dA2": dA2,
"dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2, "dA1": dA1,
"dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}
return gradients
测试一下：
parameters = model(train_X, train_Y, lambd=0.7,is_plot=True)
print("使用正则化，训练集:")
predictions_train = reg_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)
print("使用正则化，测试集:")
predictions_test = reg_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)
执行结果：
第0次迭代，成本值为：0.6974484493131264
第10000次迭代，成本值为：0.2684918873282239
第20000次迭代，成本值为：0.2680916337127301
使用正则化，训练集:
Accuracy: 0.9383886255924171
使用正则化，测试集:
Accuracy: 0.93
损失函数plt.title("Model with L2-regularization")
接下来绘制一下模型结果
plt.title("Model with L2-regularization")
axes = plt.gca()
axes.set_xlim([-0.75,0.40])
axes.set_ylim([-0.75,0.65])
reg_utils.plot_decision_boundary(lambda x: reg_utils.predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y)
绘制结果：
模型结果
lanmd的值是可以使用开发集调整时的超参数。L2正则化会使决策边界更加平滑。如果lanmd太大，也可能过度平滑，从而导致模型高偏差。L2正则化依赖于较小权重的模型比具有较大权重的mooing更简单这样的假设，因此通过消减成本函数中权重的平房值，可以将权重值逐渐改变到较小的值。权值数高的话会有更平滑的模型，其中输入变化时输出变化更慢，但是需要花费更多的时间。L2的主要影响如下：
成本函数：正则化的计算需要添加到成本函数中
反向传播功能：在权重矩阵方面，梯度计算时也要依据正则化来做相应的计算
重量变小：权重被逐渐改变到较小的值
随机删除节点
最后，我们使用dropout来进行正则化，dropout的原理就是每次迭代过程中随机将其中的一些点失效。当我们关闭一些节点时，我们实际上修改了我们的模型。背后的想法是，在每次迭代时，我们都会训练一个只使用一部分神经元的不同模型。随着迭代次数的增加，我们的模型节点会对其他特定节点的激活变得不那么敏感，因为其他节点可能在任何时候会失效。
第二层随机节点删除
在每一次迭代中，关闭一层的每个神经元，概率为1-keep_brob，我们在这儿保持概率为keep_prob。丢弃的节点都不参与迭代时的前向后向传播。
第一层和第三层启用随机删除
如上图所示，我们要关闭上图中第一层和第三层的一些节点，现在我们需要做以下四步：
1.在视频中，吴恩达老师讲解了使用np.random.rand() 来初始化和a[1]具有相同维度的 d[1]，在这里，我们将使用向量化实现，我们先来实现一个和A[1]相同的随机矩阵D[1]
2.如果D[1]低于（keep_prob）的值我们就把它设置为0，如果高于（keep_prob）的值就设置为1
3.把A[1]更新为A[1]*D[1]。我们可以使用D[1]作为掩码。我们做矩阵相乘的时候，关闭的那些节点（值为0）就会不参与计算，因为0乘以任何数都是0。
4.使用A[1]除以keep_prob。这样做的话我们通过缩放就在计算成本的时候仍然具有相同的期望值，这叫做反向dropout。
def forward_propagation_with_dropout(X,parameters,keep_prob=0.5):
"""
实现具有随机舍弃节点的前向传播。
LINEAR -> RELU + DROPOUT -> LINEAR -> RELU + DROPOUT -> LINEAR -> SIGMOID.
参数：
X - 输入数据集，维度为（2，示例数）
parameters - 包含参数“W1”，“b1”，“W2”，“b2”，“W3”，“b3”的python字典：
W1 - 权重矩阵，维度为（20,2）
b1 - 偏向量，维度为（20,1）
W2 - 权重矩阵，维度为（3,20）
b2 - 偏向量，维度为（3,1）
W3 - 权重矩阵，维度为（1,3）
b3 - 偏向量，维度为（1,1）
keep_prob - 随机删除的概率，实数
返回：
A3 - 最后的激活值，维度为（1,1），正向传播的输出
cache - 存储了一些用于计算反向传播的数值的元组
"""
np.random.seed(1)
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
W3 = parameters["W3"]
b3 = parameters["b3"]
#LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
Z1 = np.dot(W1,X) + b1
A1 = reg_utils.relu(Z1)
#下面的步骤1-4对应于上述的步骤1-4。
D1 = np.random.rand(A1.shape[0],A1.shape[1]) #步骤1：初始化矩阵D1 = np.random.rand(..., ...)
D1 = D1 < keep_prob #步骤2：将D1的值转换为0或1（使用keep_prob作为阈值）
A1 = A1 * D1 #步骤3：舍弃A1的一些节点（将它的值变为0或False）
A1 = A1 / keep_prob #步骤4：缩放未舍弃的节点(不为0)的值
"""
#不理解的同学运行一下下面代码就知道了。
import numpy as np
np.random.seed(1)
A1 = np.random.randn(1,3)
D1 = np.random.rand(A1.shape[0],A1.shape[1])
keep_prob=0.5
D1 = D1 < keep_prob
print(D1)
A1 = 0.01
A1 = A1 * D1
A1 = A1 / keep_prob
print(A1)
"""
Z2 = np.dot(W2,A1) + b2
A2 = reg_utils.relu(Z2)
#下面的步骤1-4对应于上述的步骤1-4。
D2 = np.random.rand(A2.shape[0],A2.shape[1]) #步骤1：初始化矩阵D2 = np.random.rand(..., ...)
D2 = D2 < keep_prob #步骤2：将D2的值转换为0或1（使用keep_prob作为阈值）
A2 = A2 * D2 #步骤3：舍弃A1的一些节点（将它的值变为0或False）
A2 = A2 / keep_prob #步骤4：缩放未舍弃的节点(不为0)的值
Z3 = np.dot(W3, A2) + b3
A3 = reg_utils.sigmoid(Z3)
cache = (Z1, D1, A1, W1, b1, Z2, D2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3)
return A3, cache
改变了前向传播算法，我们也需要改变后向传播的算法，使用存储在缓存中的掩码D[1]和D[2]将舍弃的节点位置信息添加到第一个和第二个隐藏层。
def backward_propagation_with_dropout(X,Y,cache,keep_prob):
"""
实现我们随机删除的模型的后向传播。
参数：
X - 输入数据集，维度为（2，示例数）
Y - 标签，维度为（输出节点数量，示例数量）
cache - 来自forward_propagation_with_dropout（）的cache输出
keep_prob - 随机删除的概率，实数
返回：
gradients - 一个关于每个参数、激活值和预激活变量的梯度值的字典
"""
m = X.shape[1]
(Z1, D1, A1, W1, b1, Z2, D2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache
dZ3 = A3 - Y
dW3 = (1 / m) * np.dot(dZ3,A2.T)
db3 = 1. / m * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims=True)
dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)
dA2 = dA2 * D2 # 步骤1：使用正向传播期间相同的节点，舍弃那些关闭的节点（因为任何数乘以0或者False都为0或者False）
dA2 = dA2 / keep_prob # 步骤2：缩放未舍弃的节点(不为0)的值
dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))
dW2 = 1. / m * np.dot(dZ2, A1.T)
db2 = 1. / m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)
dA1 = np.dot(W2.T, dZ2)
dA1 = dA1 * D1 # 步骤1：使用正向传播期间相同的节点，舍弃那些关闭的节点（因为任何数乘以0或者False都为0或者False）
dA1 = dA1 / keep_prob # 步骤2：缩放未舍弃的节点(不为0)的值
dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0))
dW1 = 1. / m * np.dot(dZ1, X.T)
db1 = 1. / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)
gradients = {"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3,"dA2": dA2,
"dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2, "dA1": dA1,
"dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}
return gradients
现在前向后向传播函数都写好了，现在用dropout运行模型（keep_prob=0.86）训练一下。这意味着每次迭代中，程序都可以14%的概率关闭第一层和第二层的神经元。
现在我们测试一下：
parameters = model(train_X, train_Y, keep_prob=0.86, learning_rate=0.3,is_plot=True)
print("使用随机删除节点，训练集:")
predictions_train = reg_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)
print("使用随机删除节点，测试集:")
reg_utils.predictions_test = reg_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)
测试结果：
第0次迭代，成本值为：0.6543912405149825
第10000次迭代，成本值为：0.061016986574905605
第20000次迭代，成本值为：0.060582435798513114
使用随机删除节点，训练集:
Accuracy: 0.9289099526066351
使用随机删除节点，测试集:
Accuracy: 0.95
下面绘制图片试一下：
plt.title("Model with dropout")
axes = plt.gca()
axes.set_xlim([-0.75, 0.40])
axes.set_ylim([-0.75, 0.65])
reg_utils.plot_decision_boundary(lambda x: reg_utils.predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y)
运行结果：
模型效果
我们可以看到，正则化会把训练集的准确度降低，但是测试集的准确度提高了，所以，这个还是比较成功了！
梯度校验下次再写！！！
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一技破万法
