此篇在系列文章里，或许是比较复杂然不会最复杂的一篇。

有理数是确定的，可以用两个整数比来表示，无理数是不确定的，它没完没了永远也书写不完，如圆周率3.141592653...后面拖着长长的尾巴，只能使用符号π来表示，出现的时候如在一个坐标系中早已经和有理数结合。然而无理数真的不能用“整数比”来表示吗？当然可以，只不过不是用两个或多个整数，而是需要无穷多个整数来表示，参见连分数表示法：

把实数的十进制小数部分写成分数形式，分子全都为1，上图的左边表示无理数，最底下＋号后面还有无数个分数，n趋于无穷大n→∞，an的值始终不确定；右边的式子表示有理数，最后有个符点，意味着到此暂停中断或终止，an可以取任意整数包括无穷，我认为它下一步就会等于无穷即an+1=∞，1/an+1=1/∞=ο（无穷小，非0），到此可终止运算，an趋于无穷大an→∞，或1/an→ο（实际运算中无穷小ο化身为某个特定精度接近0的小数，即使为“0”也可以继续算下去，这是现实系统的“不完备”决定的，人们为无穷大∞赋予了一个可计算的具体边界数值，规定了无穷大等于多少，就如同规定光速为30万千米那样，然而就算无穷大确定了，无穷小依然不确定，仍然会遭遇不可控的各种精度的“0”，换言之0的精度理论上无穷可选。事实上，无穷大也有各种各样的取值，按需选取。总之，没有什么是真正确定的，已经确定的都是人为的。可参见笔者下图excel表格的计算，对了有人知道excel的无穷大是多少吗）；所以同样趋向于无穷，无理数没有终结没完没了永远抵达不了无穷（潜无穷，理想中不确定的无穷），而有理数可以抵达某个确定的“无穷”作为其终点（实无穷，现实中的无穷。即实际运算中为无穷赋予的那个边际数值）。所以，现实中究竟有木有真正的无穷？或者到处都是无穷，我认为它可以无穷它就能够无穷。也许有理数都是从无理数截断的呢，无论之后小数是否循环，不管怎样只要可以写成整数之比就能成为有理数。这里的关键在于，两种表示法形式一致，使得无理数可以通过此方法以非常高的准确度逼近一个有理数，过程如何，先看一个例子，3.245的连分数表示如下：

对照一下π，假如用此法表示，可以一直不停算下去永无终止，所以如果要实际使用π计算，必须人为规定算到哪里为止，截断它没完没了的尾巴，这就是“断灭”。参考此法笔者算了一下π取3.14159时（对π直接进行的第一种断灭，类似于确定外延的边界，如π穿了什么衣服，直接就直接在人人都可轻易分辨出来），十进制的连分数：

表格B列取整，红色整数序列就是连分数的表示数列，如四舍五入取整，连分数为[3;7,16,-27,8,4]。在D列显示为0.000的计算中止处，数字其实并不是0，是摆动在0附近的一个无穷小数，或统称为无穷小量ο，与0的偏差并不可控（同一计算系统不同“0”而言），笔者计算五位小数π的连分数（设定显示为三位小数），很快就得出了精度为小数点后5个以上0的“0”结果，如果计算3.1415926，0的精度在达到小数点后4个0之前，有三次达到了小数后两位：

以精度-0.004来计，3.1415926的连分数为[3;7,16]，此序列和3.14159的连分数四舍五入取整序列的前几个数字一致，也即3.14159在-0.037精度时的连分数。此连分数的π近似值写成整数比即355/113，非常实用的一个分数；而其对应于两个不同的有理数在特定不同精度时的连分数；也即是说，精度也是个相对概念。若计算更多位数，或π精度更高的近似值的连分数，除了一直往下计算以外，或许要适当选择计算工具（更大值的“无穷大”），通过考虑系统偏差处理累计效应等手段，才可得出满意的无穷小的“0”结果（精度达到多少个0，类似纯度达到几个9，这是对0的无穷小尾巴进行的断灭，间接对π的第二种断灭，类似于对内涵的界限，如π肚子里有多少墨水深度几何，这里开始就不太容易分辨了），可能小数点后只有一个0或根本没有0，为什么，也许和下文要讲的取整方式有关。所以现实中有没有真正的0或可完全准确呈现的0值得怀疑，然而同时又到处都是0。

不管怎样就算再次经历了断灭，对0之无穷小的断灭，3.14159仍然是个确定无疑的有理数，小数部分四舍五入取整后的连分数，逆通约之后为14159/100000。或许可以理解为，将100000拆分构造成为几个整数加减乘除的有序运算组合，过程中一部分数字的运算结果，会得到14159这个数字，然而过程中似乎同时也损失了某些东西，系统计算每一步骤每个数字都被截断了尾巴，当然包括作为终止符或精度标准的“0”，它那断灭的无穷小尾巴。显然取整方式不同，对连分数分子分母的构造也不一样，表示序列也会不同，也就是说连分数的构造和表示并不唯一，如计算机会用很多2或1。换句话讲，取整方式就意味着某种构造方式。由一个个小整体作为个体部分，构造为更大的整体。

所以关键在于取整方式不同，得出的连分数表示序列差异颇大，四舍五入（似乎）比较公平合理效率也高，比另外两种方式更快抵达了终点。此种“四舍五入”的取整方式，就意味着人们约定俗成的某种构造“规则”“秩序”，有舍有入，有高有低，有增有减，有进有退，而能够保证此种“公平”“合理”“高效”的前提是，十进制数字只有0-9十个，恰好有大有小可以进行比较并“公平”一分为二。“公平”在哪里呢，有个方法可以追溯探究一下，笔者尝试了，作为四舍五入取整的逆操作，四入五舍取整会发生啥情况：

3.14159小数部分的连分数序列变成了-2、1、2这仨数字的组合，在-2和2来回摆动，过程中会数次停留在1一小会，然后似乎就永远循环摆动在-2和2，因为所有的中间数都变成了-1、1（准确是无限趋近于1、-1），任何一个都回不到或不必回到0，换言之抵达不了无穷，以该体系整体视域观照，各部分之间达成了某种似乎永恒公平无比的均衡，哪怕只能1或-1二选一；更准确点讲，中间数字1、-1循环摆动很久很久之后，大概几百行吧，会变成大于或小于1、-1的数字，连分数序列又跳出了-2、2的循环。。。这个神奇的序列成功使笔者联想到了，“道生一，一生二，二生三，三生万物”，一元论二元论多元论，量变质变等各种形而上学，似乎简单很多，实际几乎无法把握中间节点边界或掌控某个具体过程。。。

这是种逆向观照方法，也许你认为四舍五入天经地义，其实只是习惯了而已，习惯了9比0大。四入五舍为什么就不可以呢？想象一下，1.001已经多出来一部分，就如婴孩那般意味着无限的可能性，为何不能给他一个机会成为2呢？反观1.999，已经1.999了马上就要2了，或者都1.999了还没成为2，锦上添花或无底洞打水漂有何意义？到头来也就是个2或原地大踏步的1。