autoware中的MPC控制原理

MPC算法
引言\n\n模型预测控制（MPC）是一种控制方法，在每个控制周期内解决优化问题，以确定基于给定车辆模型的最优控制序列。计算得到的控制输入序列用于控制系统。

简单来说，MPC控制器计算一系列控制输入，以优化状态和输出轨迹，达到期望的行为。MPC控制系统的关键特性可以总结为以下几点：

未来轨迹预测：MPC通过预测未来状态和输出轨迹来计算控制序列。第一个控制输入应用于系统，并在每个控制周期中以滚动时间窗的方式重复此过程。
约束处理：MPC能够在优化阶段处理状态和输入变量的约束，确保系统在规定的限制内运行。
复杂动态处理：MPC算法可以处理复杂的动力学，无论是线性还是非线性。

选择线性或非线性模型或约束方程取决于MPC问题的具体形式。如果运动方程或约束中存在任何非线性表达式，优化问题就变为非线性。在接下来的章节中，我们将逐步解释如何在MPC框架内解决线性和非线性优化问题。请注意，在本文件中，我们利用线性化方法来适应非线性模型。

线性MPC的公式化

公式化为优化问题

本节专门介绍线性系统的MPC。在下一节中，还将展示作为应用的车辆路径跟随问题的公式化。

在线性MPC公式化中，所有运动和约束表达式都是线性的。对于路径跟随问题，假设系统的运动可以通过一组方程来描述，称为（1）。状态演变和测量以离散状态空间格式呈现，其中矩阵 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 分别表示状态转移、控制和测量矩阵。

$\begin{gather} x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k}+w_{k}\\ y_{k}=Cx_{k} \tag{1} \\ x_{k}\in R^{n},u_{k}\in R^{m},w_{k}\in R^{n}, y_{k}\in R^{l}, A\in R^{n\times n}, B\in R^{n\times m}, C\in R^{l \times n} \end{gather}$

方程（1）表示状态空间方程，其中 $x_k$ 表示内部状态， $u_k$ 表示输入， $w_k$ 表示由线性化或问题结构引起的已知干扰。测量由变量 $y_k$ 表示。

值得注意的是，MPC的另一个优点是能够有效处理干扰项 $w$ 。虽然在这里称其为干扰，但只要遵循方程的结构，它可以采取多种形式。

方程（1）中的状态转移和测量方程是迭代的，从时间 $k$ 移至时间 $k+1$ 。通过从初始状态和控制对 $(x_0, u_0)$ 出发，并结合指定的预测步数 $N$ ，可以预测状态和测量的轨迹。

为简化起见，假设初始状态为 $x_0$ 且 $k=0$ 。\n\n首先，我们可以使用方程（1）计算 $k=1$ 时的状态 $x_1$ ，将初始状态代入方程。由于我们正在寻找输入序列的解，我们将输入表示为符号表达式中的决策变量。

$\begin{align} x_{1} = Ax_{0} + Bu_{0} + w_{0} \tag{2} \end{align}$

然后，当 $k=2$ 时，使用方程（2），我们得到

$\begin{align} x_{2} & = Ax_{1} + Bu_{1} + w_{1} \\ & = A(Ax_{0} + Bu_{0} + w_{0}) + Bu_{1} + w_{1} \\ & = A^{2}x_{0} + ABu_{0} + Aw_{0} + Bu_{1} + w_{1} \\ & = A^{2}x_{0} + \begin{bmatrix}AB & B \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{0}\\ u_{1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}A & I \end{bmatrix}\begin{bmatrix}w_{0}\\ w_{1} \end{bmatrix} \tag{3} \end{align}$

当 $k=3$ 时，从方程（3）可得

$\begin{align} x_{3} & = Ax_{2} + Bu_{2} + w_{2} \\ & = A(A^{2}x_{0} + ABu_{0} + Bu_{1} + Aw_{0} + w_{1} ) + Bu_{2} + w_{2} \\ & = A^{3}x_{0} + A^{2}Bu_{0} + ABu_{1} + A^{2}w_{0} + Aw_{1} + Bu_{2} + w_{2} \\ & = A^{3}x_{0} + \begin{bmatrix}A^{2}B & AB & B \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{0}\\ u_{1} \\ u_{2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} A^{2} & A & I \end{bmatrix}\begin{bmatrix}w_{0}\\ w_{1} \\ w_{2} \end{bmatrix} \tag{4} \end{align}$

如果 $k=n$ ，那么

$\begin{align} x_{n} = A^{n}x_{0} + \begin{bmatrix}A^{n-1}B & A^{n-2}B & \dots & B \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{0}\\ u_{1} \\ \vdots \\ u_{n-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} A^{n-1} & A^{n-2} & \dots & I \end{bmatrix}\begin{bmatrix}w_{0}\\ w_{1} \\ \vdots \\ w_{n-1} \end{bmatrix} \tag{5} \end{align}$

将（2）到（5）中的所有方程结合在一起，得到以下矩阵方程：

$\begin{align} \begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A^{1}\\ A^{2} \\ A^{3} \\ \vdots \\ A^{n} \end{bmatrix}x_{0} + \begin{bmatrix}B & 0 & \dots & & 0 \\ AB & B & 0 & \dots & 0 \\ A^{2}B & AB & B & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & & 0 \\ A^{n-1}B & A^{n-2}B & \dots & AB & B \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{0}\\ u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n-1} \end{bmatrix} \\ + \begin{bmatrix}I & 0 & \dots & & 0 \\ A & I & 0 & \dots & 0 \\ A^{2} & A & I & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & & 0 \\ A^{n-1} & A^{n-2} & \dots & A & I \end{bmatrix}\begin{bmatrix}w_{0}\\ w_{1} \\ w_{2} \\ \vdots \\ w_{n-1} \end{bmatrix} \tag{6} \end{align}$

在这种情况下，测量（输出）变为； $y_{k}=Cx_{k}$ ，因此

$\begin{align} \begin{bmatrix}y_{1}\\ y_{2} \\ y_{3} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}C & 0 & \dots & & 0 \\ 0 & C & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & C & \dots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 0 & C \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} \tag{7} \end{align}$

我们可以将方程（6）和（7）组合为以下形式：

$\begin{align} X = Fx_{0} + GU +SW, Y=HX \tag{8} \end{align}$

这种形式与原始状态空间方程（1）相似，但引入了新矩阵：状态转移矩阵 $F$ 、控制矩阵 $G$ 、干扰矩阵 $W$ 和测量矩阵 $H$ 。在这些方程中， $X$ 表示预测状态，给定为

$\begin{bmatrix}x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \end{bmatrix}^{T}$

现在，已经知道 $G$ 、 $S$ 、 $W$ 和 $H$ ，我们可以将输出行为 $Y$ 表示为输入 $U$ 的函数。这使得我们能够计算控制输入 $U$ ，使得 $Y(U)$ 跟随目标轨迹 $Y_{ref}$ 。

接下来的步骤是定义成本函数。成本函数通常使用以下二次形式；

$\begin{align} J = (Y - Y_{ref})^{T}Q(Y - Y_{ref}) + (U - U_{ref})^{T}R(U - U_{ref}) \tag{9} \end{align}$

其中 $U_{ref}$ 是目标或稳态输入，围绕此输入线性化用于 $U$ 。\n\n这个成本函数与LQR控制器的成本函数是相同的。 $J$ 的第一项惩罚与参考轨迹的偏差。第二项惩罚与参考（或稳态）控制轨迹的偏差。 $Q$ 和 $R$ 是正的和正半定的矩阵的成本权重。

注意：在某些情况下， $U_{ref}=0$ 被使用，但这可能意味着即使车辆正在转弯，转向角也应设置为0。因此在这里使用 $U_{ref}$ 进行解释。这个 $U_{ref}$ 可以根据目标轨迹的曲率或稳态分析进行预先计算。\n\n由于结果轨迹输出现在为 $Y=Y(x_{0}, U)$ ，成本函数仅依赖于 $U$ 和初始状态条件，这导致成本 $J=J(x_{0}, U)$ 。让我们找到最小化 $U$ 。

将方程（8）代入方程（9），并整理 $U$ 的方程。

$\begin{align} J(U) &= (H(Fx_{0}+GU+SW)-Y_{ref})^{T}Q(H(Fx_{0}+GU+SW)-Y_{ref})+(U-U_{ref})^{T}R(U-U_{ref}) \\ & =U^{T}(G^{T}H^{T}QHG+R)U+2\left\{(H(Fx_{0}+SW)-Y_{ref})^{T}QHG-U_{ref}^{T}R\right\}U +(\rm{constant}) \tag{10} \end{align}$

这个方程是 $U$ 的二次形式（即 $U^{T}AU+B^{T}U$ ）。

$U$ 的二次项系数矩阵 $G^{T}C^{T}QCG+R$ 是正定的，因为 $Q$ 和 $R$ 的正定和半正定性要求。因此，成本函数在 $U$ 中是一个凸二次函数，可以通过凸优化有效地求解。

应用于车辆路径跟随问题（非线性问题）

由于具有运动学车辆模型的路径跟随问题是非线性的，因此我们无法直接使用前面描述的线性MPC方法。有几种方法可以处理非线性，例如使用非线性优化解算器。在这里，我们沿着参考轨迹对非线性车辆模型进行线性化，因此非线性模型被转化为线性时变模型。

对于非线性运动学车辆模型，离散时间更新方程如下：

$\begin{align} x_{k+1} &= x_{k} + v\cos\theta_{k} \text{d}t \\ y_{k+1} &= y_{k} + v\sin\theta_{k} \text{d}t \\ \theta_{k+1} &= \theta_{k} + \frac{v\tan\delta_{k}}{L} \text{d}t \tag{11} \\ \delta_{k+1} &= \delta_{k} - \tau^{-1}\left(\delta_{k}-\delta_{des}\right)\text{d}t \end{align}$

车辆参考点为后轴中心，所有状态在该点进行测量。状态、参数和控制变量如下表所示。

符号	含义
$v$	在后轴中心测量的车辆速度
$\theta$	全局坐标系中的偏航（航向角）
$\delta$	车辆转向角
$\delta_{des}$	车辆目标转向角
$L$	车辆轴距（后轴与前轴之间的距离）
$\tau$	一阶转向动态的时间常数

在本示例中，假设MPC只生成转向控制，而轨迹生成器提供沿轨迹的车辆速度。运动学车辆模型的离散更新方程包含三角函数；正弦和余弦，并且车辆坐标 $x$ 、 $y$ 和偏航角是全局坐标。在路径跟踪应用中，通常将模型重新公式化为误差动态，以将控制转换为调节器问题，使目标变为零（零误差）。

我们对以下线性方程的推导做小角假设。考虑非线性动力学，省略纵向坐标 $x$ ，结果方程组变为：

$\begin{align} y_{k+1} &= y_{k} + v\sin\theta_{k} \text{d}t \\ \theta_{k+1} &= \theta_{k} + \frac{v\tan\delta_{k}}{L} \text{d}t - \kappa_{r}v\cos\theta_{k}\text{d}t \tag{12} \\ \delta_{k+1} &= \delta_{k} - \tau^{-1}\left(\delta_{k}-\delta_{des}\right)\text{d}t \end{align}$

其中 $\kappa_{r}(s)$ 是沿轨迹的曲率，参数化为弧长。

在更新方程中，有三个表达式受线性近似的影响：横向偏差（或横向坐标） $y$ 、航向角（或航向角误差） $\theta$ 以及转向 $\delta$ 。我们可以对航向角 $\theta$ 做小角假设。

在路径跟踪问题中，已知轨迹的曲率 $\kappa_{r}$ 。在较低速度时，Ackermann公式近似参考转向角 $\theta_{r}$ （此值对应于上述提到的 $U_{ref}$ ）。Ackermann转向表达式可以写为：

$\begin{align} \delta_{r} = \arctan\left(L\kappa_{r}\right) \end{align}$

当车辆转弯时，其转向角 $\delta$ 应接近 $\delta_{r}$ 的值。因此，可以表示为：

$\begin{align} \delta = \delta_{r} + \Delta \delta, \Delta\delta \ll 1 \end{align}$

将此方程代入方程（12），并近似 $\Delta\delta$ 为小值。

$\begin{align} \tan\delta &\simeq \tan\delta_{r} + \frac{\text{d}\tan\delta}{\text{d}\delta} \Biggm|_{\delta=\delta_{r}}\Delta\delta \\ &= \tan \delta_{r} + \frac{1}{\cos^{2}\delta_{r}}\Delta\delta \\ &= \tan \delta_{r} + \frac{1}{\cos^{2}\delta_{r}}\left(\delta-\delta_{r}\right) \\ &= \tan \delta_{r} - \frac{\delta_{r}}{\cos^{2}\delta_{r}} + \frac{1}{\cos^{2}\delta_{r}}\delta \end{align}$

利用此表达式， $\theta_{k+1}$ 可以表示为：

$\begin{align} \theta_{k+1} &= \theta_{k} + \frac{v\tan\delta_{k}}{L}\text{d}t - \kappa_{r}v\cos\delta_{k}\text{d}t \\ &\simeq \theta_{k} + \frac{v}{L}\text{d}t\left(\tan\delta_{r} - \frac{\delta_{r}}{\cos^{2}\delta_{r}} + \frac{1}{\cos^{2}\delta_{r}}\delta_{k} \right) - \kappa_{r}v\text{d}t \\ &= \theta_{k} + \frac{v}{L}\text{d}t\left(L\kappa_{r} - \frac{\delta_{r}}{\cos^{2}\delta_{r}} + \frac{1}{\cos^{2}\delta_{r}}\delta_{k} \right) - \kappa_{r}v\text{d}t \\ &= \theta_{k} + \frac{v}{L}\frac{\text{d}t}{\cos^{2}\delta_{r}}\delta_{k} - \frac{v}{L}\frac{\delta_{r}\text{d}t}{\cos^{2}\delta_{r}} \end{align}$

最终，线性化的时间变化模型方程变为：

$\begin{align} \begin{bmatrix} y_{k+1} \\ \theta_{k+1} \\ \delta_{k+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & v\text{d}t & 0 \\ 0 & 1 & \frac{v}{L}\frac{\text{d}t}{\cos^{2}\delta_{r}} \\ 0 & 0 & 1 - \tau^{-1}\text{d}t \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{k} \\ \theta_{k} \\ \delta_{k} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \tau^{-1}\text{d}t \end{bmatrix}\delta_{des} + \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{v}{L}\frac{\delta_{r}\text{d}t}{\cos^{2}\delta_{r}} \\ 0 \end{bmatrix} \end{align}$

这个方程与线性MPC假设的方程（1）有相同的形式，但是矩阵 $A$ 、 $B$ 和 $w$ 根据坐标变换而变化。为使其明确，整个方程写为：

$\begin{align} x_{k+1} = A_{k}x_{k} + B_{k}u_{k}+w_{k} \end{align}$

与方程（1）比较， $A \rightarrow A_{k}$ 。这意味着 $A$ 矩阵是在轨迹附近的线性近似，在经过 $k$ 步后（即 $k* \text{d}t$ 秒）获得，如果提前知道轨迹。

利用此方程，依次写出更新方程（2）到（6）。

$\begin{align} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{1} \\ A_{1}A_{0} \\ A_{2}A_{1}A_{0} \\ \vdots \\ \prod_{i=0}^{n-1} A_{k} \end{bmatrix} x_{0} + \begin{bmatrix} B_{0} & 0 & \dots & & 0 \\ A_{1}B_{0} & B_{1} & 0 & \dots & 0 \\ A_{2}A_{1}B_{0} & A_{2}B_{1} & B_{2} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\ddots & 0 \\ \prod_{i=1}^{n-1} A_{k}B_{0} & \prod_{i=2}^{n-1} A_{k}B_{1} & \dots & A_{n-1}B_{n-1} & B_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{0} \\ u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} I & 0 & \dots & & 0 \\ A_{1} & I & 0 & \dots & 0 \\ A_{2}A_{1} & A_{2} & I & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\ddots & 0 \\ \prod_{i=1}^{n-1} A_{k} & \prod_{i=2}^{n-1} A_{k} & \dots & A_{n-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_{0} \\ w_{1} \\ w_{2} \\ \vdots \\ w_{n-1} \end{bmatrix} \end{align}$

由于它与方程（6）的形式相同，因此可以在之前的部分应用凸优化。

成本函数和约束条件

在本节中，我们详细说明如何设置成本函数和约束条件。

成本函数

误差和输入的权重

MPC状态和控制权重以类似于LQR的方式出现在成本函数中（9）。在上述描述的车辆路径跟随问题中，如果 $C$ 是单位矩阵，则输出 $y = x = \left[y, \theta, \delta\right]$ 。（为了避免与y方向偏差混淆，此处使用 $e$ 表示横向偏差。）

作为示例，我们确定预测步数 $n=2$ 系统的评价函数的权重矩阵 $Q_{1}$ 如下：

$\begin{align} Q_{1} = \begin{bmatrix} q_{e} & 0 & 0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & q_{\theta} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & q_{e} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & q_{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align}$

在成本函数（9）的第一项（ $n=2$ ）中如下所示（ $Y_{ref}$ 设置为 $0$ ）：

$\begin{align} q_{e}\left(e_{0}^{2} + e_{1}^{2} \right) + q_{\theta}\left(\theta_{0}^{2} + \theta_{1}^{2} \right) \end{align}$

这表明 $q_{e}$ 是横向误差的权重， $q_{\theta}$ 是角度误差的权重。在这个例子中， $q_{e}$ 充当比例-P增益，而 $q_{\theta}$ 充当导数-D增益，用于横向跟踪误差。这些因素的平衡（包括 $R$ ）将通过实际实验来确定。

非对角线项的权重

MPC可以在其计算中处理非对角线项（只要结果矩阵是正定的）。

例如，写出 $n=2$ 系统的 $Q_{2}$ 如下：

$\begin{align} Q_{2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q_{d} & 0 & 0 & -q_{d} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -q_{d} & 0 & 0 & q_{d} \end{bmatrix} \end{align}$

使用 $Q_{2}$ 展开评价函数的第一项：

$\begin{align} q_{d}\left(\delta_{0}^{2} -2\delta_{0}\delta_{1} + \delta_{1}^{2} \right) = q_{d}\left( \delta_{0} - \delta_{1}\right)^{2} \end{align}$

$q_{d}$ 的值按 $\delta$ 变化的量加权，这将防止轮胎快速移动。通过添加这一部分，系统可以评估跟踪精度与转向角变化之间的平衡。

由于权重矩阵可以线性相加，因此最终权重可设置为 $Q = Q_{1} + Q_{2}$ 。\n\n此外，MPC在一段时间内进行优化，可以考虑时间变化的权重。

约束条件

输入约束

MPC控制器的主要优势是能够处理任何状态或输入约束。约束可以表示为盒约束，例如“轮胎角度必须在±30度以内”，可以以以下形式表示：

$\begin{align} u_{min} < u < u_{max} \end{align}$

约束必须在线性MPC应用中保持线性和凸性。

输入导数约束

我们还可以对输入的偏差施加约束。由于转向角的导数是 $\dot{u}$ ，其盒约束为：

$\begin{align} \dot{u}_{min} < \dot{u} < \dot{u}_{max} \end{align}$

我们将 $\dot{u}$ 离散化为 $\left(u_{k} - u_{k-1}\right)/\text{d}t$ ，并将两侧乘以 $d t$ ，得到的约束变为线性和凸性：

$\begin{align} \dot{u}_{min}\text{d}t < u_{k} - u_{k-1} < \dot{u}_{max}\text{d}t \end{align}$

沿着预测或控制时间段，例如设置 $n=3$ 时：

$\begin{align} \dot{u}_{min}\text{d}t < u_{1} - u_{0} < \dot{u}_{max}\text{d}t \\ \dot{u}_{min}\text{d}t < u_{2} - u_{1} < \dot{u}_{max}\text{d}t \end{align}$

并对不等式符号进行排列：

$\begin{align} u_{1} - u_{0} &< \dot{u}_{max}\text{d}t \\ + u_{1} + u_{0} &< -\dot{u}_{min}\text{d}t \\ u_{2} - u_{1} &< \dot{u}_{max}\text{d}t \\ + u_{2} + u_{1} &< - \dot{u}_{min}\text{d}t \end{align}$

我们可以获得形式为

$\begin{align} Ax \leq b \end{align}$

的约束方程矩阵表达式。

因此，将此不等式调整为上述形式，可以在一阶近似级别包含对 $\dot{u}$ 的约束。

$\begin{align} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{0} \\ u_{1} \\ u_{2} \end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix} \dot{u}_{max}\text{d}t \\ -\dot{u}_{min}\text{d}t \\ \dot{u}_{max}\text{d}t \\ -\dot{u}_{min}\text{d}t \end{bmatrix} \end{align}$

最后编辑于：2024.12.24 22:07:06

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