有限维空间
先从原来的四维空间看问题：
- 坐标系
- 内积（空间向量与坐标轴（单位向量）的内积表示在该坐标轴上的投影）
- 距离、角度
几何里头的一个重要概念：投影
空间中一个向量按标准正交基做了投影分解，把复杂的问题简单化了(通过重新建立坐标系的方式)
举个例子：
根据线性代数的知识我们知道 的特征值都是实的；
的属于不同特征值的特征向量相互正交；
可以化为对角矩阵。
因此我们可以求出它的特征值，
，
，
。进一步，我们还可以通过单位正交化求出特征值对应的一组特征向量
，
，
，
。例如
，其它三个特征向量也可求出。
从而我们得到了一组四维空间中的标准正交基，并且在这组标准正交基下，矩阵
成为了对角矩阵：
注1：在新的坐标系下，线性变换
有最简单的标准型。
注2：在每一个特征子空间上（新的坐标系对应的一维子空间上），作用的形式是最简单的（放大、缩小特征向量的倍数）。换句话说，
的作用在新的坐标系下是很简单的，就是对每一维坐标轴做简单的放大或缩小。
根据以上分析，我们可以把原来的向量投影到新构造的坐标系
下:
则，
其中，，
，
，
，是向量
在坐标系
上的投影，于是：
总结，矩阵确定了一组正交基
，任意向量
属于四维空间，只要知道向量
在
上的投影
，则
作用的方式一目了然，即
。
作用的方式是由特征值、特征向量决定的。
是在
上的投影算子，则：
线性变换分解成
个投影变化（算子）的线性组合。数学处理问题的原则是把复杂问题简单化，把复杂的问题转化为已知的简单的问题来处理（化归）。
无穷维空间的类比与联想
泛函分析要研究的对象（元素）是函数、运算。
如微分、积分运算，它们作用的对象是函数，微积分运算与维空间中的线性变换
相比较，相同之处都是线性运算；不同之处，
把一个向量（点）映射成另一个向量（点），而微积分运算是把一个函数映射成另一个函数。函数不能用有限个数刻画，可能可以用无穷多个数刻画。也可以将一个函数看成无穷维空间中的一个点。
- 空间的概念（无穷维空间）
- 空间的结构（对空间中元素的度量）：距离、长度、内积
- 空间中的收敛性（强，弱，一致收敛，逐点收敛等）
这是泛函分析研究的一些重点。
无穷维空间线性算子（运算）与坐标系
我们知道，函数
是可以投影到一个无穷维的坐标系上（例如通过泰勒级数、傅里叶级数展开）进行分解，所以要考察
无穷维空间的运算，例如微分运算如何在坐标系下进行分解？是否也可以是一些运算（算子）的特征函数（因为在有限维空间中矩阵
作用可以分解到特征向量下进行简单的放大或缩小）？
在有限维空间中，可以有不同的正交系（它们可由不同的对称矩阵产生），在无穷维空间是否也可以有不同的正交系，它们可以由不同的算子（运算）产生？
答案是肯定的！
建立一个空间，这个空间中的元素可以是函数或运算（矩阵运算，微分运算，积分运算，级数（极限）运算）。建立一种空间的框架，把元素（可以是函数或运算）进行坐标分解。我们希望通过类比等方法把它们推广到（结果可能会有差异）泛函分析（无穷维空间）的研究中去。
