导数 - 简书

导数

一阶导数

$f^\prime (x_0)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x )-f(x_0)}{\Delta x}$

可导函数的充要条件

函数f(x) 在 $x_0$ 可导的充要条件是它在 $x_0$ 的左、右导数存在且相等

函数可导和连续的关系

如果函数在 $x_0$ 可导，那么函数在 $x_0$ 一定连续
连续不一定可导
有切线不一定可导

初等函数的导数

幂函数

$(x^a)^{'}=ax^{a-1}$

指数函数

$(a^x)^{'}=a^x Ina$
特别的有
$(e^x)^{'}=e^x$

对数函数的导数

$(\log_{a} x)^{'}=\frac{1}{xIna}$
特别的有 $(Inx)^{'}=\frac{1}{x}$

三角函数的导数

$(sinx)^{'}=cosx^{'}$ $(cosx)^{'}=-sinx$
$(tanx)^{'}=sec^2x$ $(cotx)^{'}=-csc^2x$
$(secx)^{'}=secxtanx$ $(cscx)^{'}=-cscxcotx$

反三角函数的导数

$(arcsinx)^{'}=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}$ $(arccosx)^{'}=-\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}$
$(arctanx)^{'}=\frac{1}{1+x^2}$ $(arccotx)^{'}=-\frac{1}{1+x^2}$

导数的运算法则

$\frac d {dx}[Cf(x)]=C\frac d{dx}[f(x)]$
$\frac d{dx}[u(x).v(x)]=u(x)\frac {dv}{dx}+v(x)\frac{du}{dx}$
$\frac{d}{dx}[u_1(x).u_2(x).u_3(x)...u_{n-1}(x)u_n(x)]=u_1.u_2.u_3...u_{n-1}.u_{n}(\frac{u'_1}{u_1}+\frac{u'_2}{u_2}+\frac{u'_3}{u_3}+...+\frac{u'_{n-1}}{u_{n-1}}+\frac{u'_n}{u_n})$
$\frac d {dx}[\frac {u(x)}{v(x)}]=\frac{v(x)u'(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$