计算机基础课中，我们都学过类型转换，在没有显式声明要进行类型转换的语句时，计算机会帮我们强制类型转换。类型匹配是重要的。
数学中，要定义一个映射f，标准的格式是
其中第一行是映射的类型，第二行是映射的实现。
与之遥相呼应的是C语言中的函数：
double f(int a)
{ a=100;
return (double)a/8; }
不难见到，在以上的情形下，映射/函数的类型是由其输入和输出的数据类型决定的。但这并不绝对。
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数学与计算机中，两个“函数”概念不同点在于，数学中的函数，是从自变量索引到函数值的一个工具，一个数学变量a，被f了一下之后毫发无损，a还可以被g作用，因为f和g都只是向a问路的，a告诉f：去找f(a)吧！你要找的f(a)值是8；a又告诉g：去找g(a)吧！你要的g(a)它的值等于9。而无论被f了还是被g了，a本身都还是那个a。而计算机科学中，出于计算机在物理层面实现的限制，内存世界就有了部分物理世界的实在性，函数是施加于内存世界的一系列动作，它可以真正改变这个世界中变量的状态，如上段C语言语句，f完之后a就变了，变成100。
根本差异在于，数学中，所有数学变量是可以同时存在的，R可以被同时copy无穷份放在那里，放在虚空中的理念世界中，我们可以认为a在函数下改变或不改变都无所谓，因为即使它改变，我们也能再copy出一份f作用前的a出来。数学世界是无需物理实现的，因而数学对象的存在形式是多重态的。我们甚至可以说，数学世界里只有关系，没有动作。因为凡谈论动作，必然涉及着状态到状态的改变，而数学对象作为理念存在，可以被无穷份复制，改变后的东西和改变前的东西可以同时存在。这就使得它不必引入动作。而计算机则不然，计算机首先被物理地设计出来，内存的有限性使得同时存在的变量只能有有限个，每个变量又只能取一个值，这种物理世界导致的有限性，使得计算机变量不像数学变量那样同时以无穷份copy的形式存在，而是以一种遵循实在性、类似费米子（同一时空点不能出现两个相同的）的姿势存在着。
我知道肯定有学过计算机系统或编译原理的人要喷我了，说变量未曾真正存在过，只是栈或什么东西上的数据写入/擦除，说我思而不学则殆。我想说你别急，你懂很多实现层面的东西，但我所说的事情并不依赖于具体实现，我想说的是，如果从今天开始所有计算机全部被天降神雷击碎，那么我们仍然可以设想一个 内存有限、变量只能取单值 的理想计算机内存世界，恰似你们没有人亲手做一个图灵机，却可以思考它在某些任务上是否停机一样——我们并不需要物理实现也可以思考某些东西。进一步地，以下这段代码，即便世界上不存在计算机这个物理对象，我们仍然是可以思考其含义的。我们只需把物理地实现内存世界的方法全部抛弃、直接用内存世界的抽象属性规定出一个世界，即可开始讨论这段代码的含义。
double f(int a)
{ a=100;
return (double)a/8; }
内存世界归根结底是物理世界的模拟，最为重要的是模拟了物质存在形式的费米性，因而计算机的函数实际上是一系列动作；数学世界不是物理世界的模拟，其对象的存在形式是同时存在无穷多份，因而数学的函数可以说是一种索引关系，或者你非要说是动作也可以——只不过动作前后的数学世界完全相同。（我指的是把所有可能存在的数学对象及其无穷份copy都收集在一起的最大的数学世界）
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例子1，范畴作为带类型的群
例子2，庞加莱对偶隐藏强制类型转换
