优化函数框架

框架

该总结框架来自知乎文章：一个框架看懂优化算法之异同 SGD/AdaGrad/Adam

给定参数 $w$ ，损失函数 $f(w)$ , 学习率 $\alpha$ ，对于第 $t$ 个step：

计算目标函数关于当前参数的梯度： $g_{t}=\nabla f\left(w_{t}\right)$
根据历史梯度，计算一阶动量和二阶动量：
一阶动量： $m_{t}=\phi\left(g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{t}\right)$
二阶动量： $V_{t}=\psi\left(g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{t}\right)$
计算当前时刻的下降梯度： $\quad \eta_{t}=\alpha \cdot m_{t} / \sqrt{V_{t}}$
根据下降梯度更新参数： $w_{t+1}=w_{t}-\eta_{t}$

其中：

一阶动量：当前时刻梯度值的指数移动平均
$m_{t}=\phi\left(g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{t}\right) =\beta m_{t-1}+(1-\beta) g_{t}$

二阶动量：之前所有时刻梯度值的平方和

$V_{t}=\psi\left(g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{t}\right)=\sum_{i=1}^{t} g_{i}^{2}$

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