斐波那契数列通项公式证明

本节证明斐波那契数列的通项公式 $a_n=\frac{1}{\sqrt5}[(\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n]$
方法一：使用高中阶段的知识：数学归纳法
归纳奠基：容易验证： $n=1，2$ 时， $a_1=a_2=1$ 满足通项公式。
归纳假设：现在假设 $n\leq k$ 时 $a_n$ 都符合上面的公式。下面证明 $n=k+1$ 时也符合.
$a_{k+1}=a_k+a_{k-1}=\frac{1}{\sqrt5}[(\frac{1+\sqrt5}{2})^k+(\frac{1+\sqrt5}{2})^{k-1}-(\frac{1-\sqrt5}{2})^k-(\frac{1-\sqrt5}{2})^{k-1}]$
$=\frac{1}{\sqrt5}[(\frac{1+\sqrt5}{2})^{k+1}-(\frac{1-\sqrt5}{2})^{k+1}]$
综合上面两步可知 $a_n$ 的通项公式是正确的.

方法二：特征方程法(需要学过线性代数或者高等代数)
由递推关系 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ 可以得到特征方程 $x^2=x+1$
可以解得 $x_1=\frac{1+\sqrt5}{2},x_2=\frac{1-\sqrt5}{2}$
那么 $a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n$
再由 $a_1=a_2=1$ 得到 $C_1x_1+C_2x_2=1,C_1x_1^2+C_2x^2=1$
解得 $C_1=\frac{1}{\sqrt5},C_2=-\frac{1}{\sqrt5}$
因此 $a_n=\frac{1}{\sqrt5}[(\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n]$ 证毕

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